一、《有理数》重要概念

1.正数、负数和0

正数：大于0的数

负数：小于0的数

零：0既不是正数，也不是负数

2.有理数的分类

有理数分类1：按定义分类

整数：正整数、零、负整数（零和正整数统称为自然数）

分数：正分数，负分数

有理数分类2：按符号分类

正有理数：正整数、正分数

零

负有理数：负整数、负分数

3.与“非”有关的重要概念

非零：不为0（正数或负数）

非负数：正数和0统称为非负数

非正数：负数和0统称为非正数

非负整数：满足非负和整数这两个条件的数，即0和正整数。（0，1，2，3，......）

非正整数：满足非正和整数这两个条件的数，即0和负整数。（0，-1，-2，-3，......）

4.数轴

数轴是规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线。

注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。

一切有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都是有理数，还有无理数。比如π。

在数轴上，表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧。

右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。

5.相反数

像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数，互为相反数。

特别的，0的相反数是0

相反数的几何意义：一对相反数（0除外）在数轴上应分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。这两点是关于原点对称的。

注意：相反数是成对出现的，不能单独存在。

求相反数：求一个数或一个代数式的相反数，只要在这个数或代数式前面添上“-”号即可。

类型1：a的相反数是-a，a的相反数是-（-a）=a

类型2：a+b的相反数是-（a+b），a-b的相反数是-（a-b）

多重符号化简：

一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉。

一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉。

一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号。

6.绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|

正数的绝对值等于它本身

负数的绝对值等于它的相反数

0的绝对值等于0

绝对值的非负性

任何数a的绝对值都大于等于0，即|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。

如果|a|+|b|=0，那么a=0，b=0（俗称“0+0=0”模型）

如果|a|+|b|+|c|=0，那么a=0，b=0，c=0（俗称“0+0+0=0”模型）

7.倒数

规则1：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数。

规则2：特别地，0没有倒数。

用字母表示：如果ab=1，那么a、b互为倒数。

负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。

二、《有理数》重要运算技能

1.有理数的加法法则

类型1：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加（口诀：越加越大）

例子：+3+2=+（3+2）=+5

类型2：异号两数相加，

绝对值相等时，和为0（口诀：互为相反数的两个数相加得0）

例子：+3+（-3）=0

绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

例子：+3+（-2）=+（3-2）=+1（口诀：正的多）

例子：+3+（-4）=-（4-3）=-1（口诀：负的多）

类型3：一个数同0相加，仍得这个数

2.有理数减法法则

有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示：a-b=a+（-b）

例子：2-5=2+（-5）

3.有理数加法运算律

在有理数的加法中，加法的运算律与结合律仍然适用

加法交换律：

a+b=b+a

a+（-b）=（-b）+a

a-b=-b+a

加法结合律：

a+(b+c)=(a+b)+c

a+b+c=a+（b+c）

a+b-c=a+（b-c）

a-b-c=a+（-b-c）

4.有理数加减混合运算简便方法

有理数的加减混合运算步骤：

把算式中的减法转化为加法

运用有理数加法法则、加法运算律进行计算，求出结果

简便方法

同号结合

同分母结合

凑整数集合

相反数结合

5.有理数的乘法法则

法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

法则2：任何数与0相乘，积都得0.

注意：当用字母表示乘数时，“×”号可以写作“·”或省略不写。

例子：a×b应该写作：a·b或ab

积的符号确定

几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负。简称“奇负偶正”

有理数乘法运算律

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：a（bc）=（ab）c

乘法分配律：a（b+c）=ab+ac

乘法分配律逆用：ab+ac=a（b+c）

乘法的简便运算：

乘法分配律

逆用乘法分配律

能约分的先结合

互为倒数的先结合

6.有理数的除法法则

法则1：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数；

法则2：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

法则3：0除以任何非0的数都得0，0不能作除数。

7.乘方

乘方：求n个相同因数a积的运算叫做乘方；

幂：乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a^n读作a的n次幂（或a的n次方）

注意：一个数可以看作这个数本身的一次方

例子：5就是5的1次方，指数1通常省略不写。

乘方的符号法则

法则1：正数的任何次幂都是正数

法则2：0的任何正数次幂都是0

法则3：负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数

设n为正整数，则（-1）^2n=1，（-1）^2n-1=-1

平方具有非负性

任意有理数的平方都大于等于0，即平方数具有非负性。

用字母表示：a²≥0

更一般地，有理数的偶次幂具有非负性，奇次幂具有保号性（符号不变）。

8.有理数混合运算

法则1：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

法则2：有括号的先算括号里面的，再算括号外面的；一般先算小括号的，再算中括号的，最后算大括号的；

法则3：在每一步运算中，都要先确定符号，再确定绝对值。

9.科学记数法

科学计数法：把一个大于10的数表示成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记法叫做科学记数法；

有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

熟记：1万=1×10^4，1亿=1×10^8

三、《有理数》重要性质推理

1.最大的与最小的：

a为最小的正整数，推出a=1。

b为最大的负整数，推出b=-1。

c是绝对值最小的数，推出c=0。

2.互为相反数：

如果a与b互为相反数，那么a+b=0或a=-b或b=-a。

如果a+b=0或a=-b或b=-a，那么a与b互为相反数。

3.互为倒数：

如果a与b互为倒数，那么ab=1或a=1/b或b=1/a。

如果ab=1或a=1/b或b=1/a，那么a与b互为倒数。

4.绝对值等于a

如果一个数的绝对值等于a

那么a一定大于等于0。

那么这个数等于±a。

例子：如果|x|=10，那么x=±10。

5.本身的数

倒数等于本身的数，这个数是±1；

相反数等于本身的数，这个数是0；

绝对值等于本身的数，这个数是非负数（0和正数）；

6.a、b符与ab符号

如果a，b同号（同正或同负），那么ab＞0

如果ab>0，那么a、b同号（同正或同负）。

如果a，b异号（一正一负），那么ab<0。

如果ab<0，那么a，b异号（一正一负）。

如果ab=0，那么a，b有一个为0或a，b同时为0。

如果a，b有一个为0或a，b同时为0，那么ab=0。

已知ab>0且a+b>0，推出a>0且b>0

已知ab>0且a+b<0，推出a<0且b<0

已知a+b+c=0且a>b>c，推出a>0且c<0

7.绝对值

如果|a|，那么|a|≥0（绝对值为非负数）

8.绝对值相等

如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等。

如果a+b=0，那么|a|=|b|。

|a|=|-a|

|a-b|=|b-a|

如果两个数的绝对值相等，那么它们相等或互为相反数。

如果|a|=|b|，那么a=b或a=-b（要么相等，要么相反）。

9.绝对值之和

如果|a|+|b|=|a+b|，那么ab≥0。

如果|a|+|b|=0，那么a=0且b=0。

10.绝对值相乘或乘除

|a||b|=|ab|

|a|/|b|=|a/b|

11.绝对值平方

|a|²=|a²|=a²

12.平方数

如果a²，那么a²≥0（平方数为非负数）。

如果a=x²+1，无论x为任何数

那么a≥1

那么a>0

那么a的最小值是1

13.非负性

已知|a|+b²=0，推出a=0，b=0（0+0=0模型）。

14.平方数大小比较

如果0<n<m，那么m²>n²。

如果n<m<0，那么m²<n²。

如果m²>n²，那么|m|>|n|。

如果|m|>|n|，那么m²>n²。

15.倒数大小比较

如果0<n<m，那么1/m<1/n。（m，n同为正，倒数 大的反而小）

例子：5>3→1/5<1/3

如果n<m<0，那么1/m<1/n。（m，n同为负，倒数 大的反而小）

例子：-5<-3→-1/5>-1/3

如果n<0<m，那么1/m>1/n。（m，n一正一负，大的还是大）

例子：5>-3→1/5>-1/3

四、《有理数》重要数学思想方法

1.分类讨论思想

化简绝对值题型

2.数形结合思想

有理数在数轴上的位置题型

绝对值的几何意义题型