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「给孩子收藏」初中数学计算考点汇总2|初中生必考《有理数》

宝贵数学 296

前言:

此刻姐妹们对“非负整数要满足哪两个条件”大体比较关心,朋友们都想要剖析一些“非负整数要满足哪两个条件”的相关知识。那么小编也在网络上汇集了一些关于“非负整数要满足哪两个条件””的相关内容,希望姐妹们能喜欢,朋友们一起来学习一下吧!

一、《有理数》重要概念

1.正数、负数和0

正数:大于0的数

负数:小于0的数

零:0既不是正数,也不是负数

2.有理数的分类

有理数分类1:按定义分类

整数:正整数、零、负整数(零和正整数统称为自然数)

分数:正分数,负分数

有理数分类2:按符号分类

正有理数:正整数、正分数

负有理数:负整数、负分数

3.与“非”有关的重要概念

非零:不为0(正数或负数)

非负数:正数和0统称为非负数

非正数:负数和0统称为非正数

非负整数:满足非负和整数这两个条件的数,即0和正整数。(0,1,2,3,......)

非正整数:满足非正和整数这两个条件的数,即0和负整数。(0,-1,-2,-3,......)

4.数轴

数轴是规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线。

注意:原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可。

一切有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点不都是有理数,还有无理数。比如π。

在数轴上,表示正数的点都在原点的右侧,表示负数的点都在原点的左侧。

右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。

5.相反数

像2和-2,5和-5这样,只有符号不同的两个数,互为相反数。

特别的,0的相反数是0

相反数的几何意义:一对相反数(0除外)在数轴上应分别位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。这两点是关于原点对称的。

注意:相反数是成对出现的,不能单独存在。

求相反数:求一个数或一个代数式的相反数,只要在这个数或代数式前面添上“-”号即可。

类型1:a的相反数是-a,a的相反数是-(-a)=a

类型2:a+b的相反数是-(a+b),a-b的相反数是-(a-b)

多重符号化简:

一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉。

一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉。

一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号。

6.绝对值

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|

正数的绝对值等于它本身

负数的绝对值等于它的相反数

0的绝对值等于0

绝对值的非负性

任何数a的绝对值都大于等于0,即|a|≥0

如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0。

如果|a|+|b|=0,那么a=0,b=0(俗称“0+0=0”模型)

如果|a|+|b|+|c|=0,那么a=0,b=0,c=0(俗称“0+0+0=0”模型)

7.倒数

规则1:如果两个数的乘积等于1,那么这两个数互为倒数。

规则2:特别地,0没有倒数。

用字母表示:如果ab=1,那么a、b互为倒数。

负倒数:乘积为-1的两个数互为负倒数。

二、《有理数》重要运算技能

1.有理数的加法法则

类型1:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加(口诀:越加越大)

例子:+3+2=+(3+2)=+5

类型2:异号两数相加,

绝对值相等时,和为0(口诀:互为相反数的两个数相加得0)

例子:+3+(-3)=0

绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值

例子:+3+(-2)=+(3-2)=+1(口诀:正的多)

例子:+3+(-4)=-(4-3)=-1(口诀:负的多)

类型3:一个数同0相加,仍得这个数

2.有理数减法法则

有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

用字母表示:a-b=a+(-b)

例子:2-5=2+(-5)

3.有理数加法运算律

在有理数的加法中,加法的运算律与结合律仍然适用

加法交换律:

a+b=b+a

a+(-b)=(-b)+a

a-b=-b+a

加法结合律:

a+(b+c)=(a+b)+c

a+b+c=a+(b+c)

a+b-c=a+(b-c)

a-b-c=a+(-b-c)

4.有理数加减混合运算简便方法

有理数的加减混合运算步骤:

把算式中的减法转化为加法

运用有理数加法法则、加法运算律进行计算,求出结果

简便方法

同号结合

同分母结合

凑整数集合

相反数结合

5.有理数的乘法法则

法则1:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

法则2:任何数与0相乘,积都得0.

注意:当用字母表示乘数时,“×”号可以写作“·”或省略不写。

例子:a×b应该写作:a·b或ab

积的符号确定

几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号由负因数的个数确定,当负因数有偶数个时,积为正,当负因数有奇数个时,积为负。简称“奇负偶正”

有理数乘法运算律

乘法交换律:ab=ba

乘法结合律:a(bc)=(ab)c

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

乘法分配律逆用:ab+ac=a(b+c)

乘法的简便运算:

乘法分配律

逆用乘法分配律

能约分的先结合

互为倒数的先结合

6.有理数的除法法则

法则1:除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数;

法则2:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;

法则3:0除以任何非0的数都得0,0不能作除数。

7.乘方

乘方:求n个相同因数a积的运算叫做乘方;

幂:乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n叫做指数,a^n读作a的n次幂(或a的n次方)

注意:一个数可以看作这个数本身的一次方

例子:5就是5的1次方,指数1通常省略不写。

乘方的符号法则

法则1:正数的任何次幂都是正数

法则2:0的任何正数次幂都是0

法则3:负数的偶数次幂是正数,奇数次幂是负数

设n为正整数,则(-1)^2n=1,(-1)^2n-1=-1

平方具有非负性

任意有理数的平方都大于等于0,即平方数具有非负性。

用字母表示:a²≥0

更一般地,有理数的偶次幂具有非负性,奇次幂具有保号性(符号不变)。

8.有理数混合运算

法则1:先算乘方,再算乘除,最后算加减;

法则2:有括号的先算括号里面的,再算括号外面的;一般先算小括号的,再算中括号的,最后算大括号的;

法则3:在每一步运算中,都要先确定符号,再确定绝对值。

9.科学记数法

科学计数法:把一个大于10的数表示成a×10^n的形式(其中1≤a<10,n是正整数),这种记法叫做科学记数法;

有效数字:从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字。

熟记:1万=1×10^4,1亿=1×10^8

三、《有理数》重要性质推理

1.最大的与最小的:

a为最小的正整数,推出a=1。

b为最大的负整数,推出b=-1。

c是绝对值最小的数,推出c=0。

2.互为相反数:

如果a与b互为相反数,那么a+b=0或a=-b或b=-a。

如果a+b=0或a=-b或b=-a,那么a与b互为相反数。

3.互为倒数:

如果a与b互为倒数,那么ab=1或a=1/b或b=1/a。

如果ab=1或a=1/b或b=1/a,那么a与b互为倒数。

4.绝对值等于a

如果一个数的绝对值等于a

那么a一定大于等于0。

那么这个数等于±a。

例子:如果|x|=10,那么x=±10。

5.本身的数

倒数等于本身的数,这个数是±1;

相反数等于本身的数,这个数是0;

绝对值等于本身的数,这个数是非负数(0和正数);

6.a、b符与ab符号

如果a,b同号(同正或同负),那么ab>0

如果ab>0,那么a、b同号(同正或同负)。

如果a,b异号(一正一负),那么ab<0。

如果ab<0,那么a,b异号(一正一负)。

如果ab=0,那么a,b有一个为0或a,b同时为0。

如果a,b有一个为0或a,b同时为0,那么ab=0。

已知ab>0且a+b>0,推出a>0且b>0

已知ab>0且a+b<0,推出a<0且b<0

已知a+b+c=0且a>b>c,推出a>0且c<0

7.绝对值

如果|a|,那么|a|≥0(绝对值为非负数)

8.绝对值相等

如果两个数互为相反数,那么它们的绝对值相等。

如果a+b=0,那么|a|=|b|。

|a|=|-a|

|a-b|=|b-a|

如果两个数的绝对值相等,那么它们相等或互为相反数。

如果|a|=|b|,那么a=b或a=-b(要么相等,要么相反)。

9.绝对值之和

如果|a|+|b|=|a+b|,那么ab≥0。

如果|a|+|b|=0,那么a=0且b=0。

10.绝对值相乘或乘除

|a||b|=|ab|

|a|/|b|=|a/b|

11.绝对值平方

|a|²=|a²|=a²

12.平方数

如果a²,那么a²≥0(平方数为非负数)。

如果a=x²+1,无论x为任何数

那么a≥1

那么a>0

那么a的最小值是1

13.非负性

已知|a|+b²=0,推出a=0,b=0(0+0=0模型)。

14.平方数大小比较

如果0<n<m,那么m²>n²。

如果n<m<0,那么m²<n²。

如果m²>n²,那么|m|>|n|。

如果|m|>|n|,那么m²>n²。

15.倒数大小比较

如果0<n<m,那么1/m<1/n。(m,n同为正,倒数 大的反而小)

例子:5>3→1/5<1/3

如果n<m<0,那么1/m<1/n。(m,n同为负,倒数 大的反而小)

例子:-5<-3→-1/5>-1/3

如果n<0<m,那么1/m>1/n。(m,n一正一负,大的还是大)

例子:5>-3→1/5>-1/3

四、《有理数》重要数学思想方法

1.分类讨论思想

化简绝对值题型

2.数形结合思想

有理数在数轴上的位置题型

绝对值的几何意义题型

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