在千禧年到来之前，数学经过千年的发展，还有许多难题没有攻克解决，这些难题影响了数学的基本理论发展。

所以在2000年的时候，美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，97年菲尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的详述。

这7个难题分别是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性、BSD猜想。其中庞加莱猜想已经被俄罗斯数学家佩雷尔曼给解决，所以只剩下6大难题。

只要你可以解出这6道数学题，你就可以获得600万美元。

NP完全问题

这并不是一个传统数学难题，而是计算复杂性理论的问题。NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。

我们要知道，什么是P类问题，什么是NP类问题，所谓P类和NP类，都是指问题的集合。用确定的图灵机以多项式时间界可解的问题称为P类问题；用不确定的图灵机以多项式时间界可解的问题称为NP类问题 。

首先，数学界已经知道“P类问题”都属于“NP类问题”，也就是“NP类问题集合”⊇ “P类问题集合”。这是显然的，一个问题可以在多项式时间复杂度内求解，当然可以在多项式时间复杂度内验证。

但是反过来，一个可以在多项式时间复杂度内验证的问题是否一定能够通过多项式时间复杂度的算法求解呢？也就是说，是否全部的“NP类问题”都属于“P类问题”呢？这就是著名的“NP=P”问题。如果答案为“是”，那就意味着“NP类问题集合”=“P类问题集合”；如果答案为“否”，那就意味着“NP类问题集合”⊃“P类问题集合”，但不相等。

如果NP=P，那么将颠覆我们人类世界，我们广泛应用的RSA加密算法将失效，通过计算很难解决的大量问题都可以通过算法优化而轻松得到解决了。

霍奇猜想

数学家为了得到更加复杂的形状，发现了一个非常实用的方法，基本想法是在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧非常好用，使得它可以用许多不同的方式来推广。

数学家希望通过这种方法，用各种不同类型的方式一步一步地扩展，最终建立一组强有力的代数方程或／和几何工具，使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。这使得数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来在这种扩展过程中，几何出发点变得模糊起来——到底从哪些简单几何对象组合起；组合的程序／序列又是什么。因此，必须加上一些没有任何几何解释的＂非几何＂基本模块。

正是基于这样的困境， 1958年，英国数学家，第13次国际数学大会的主席霍奇教授提出：对于射影代数簇空间，在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性（几何部件的）组合。简单而言就是：任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。

霍奇猜想在数学界甚至被一些数学家称为最难的数学难题，这个问题的表述是否严谨合理在数学界都还存在一定的争论。有些人甚至说它应该更准确地称为一个不着边际的猜测。

从1958年提出，霍奇猜想的研究进展几乎为0，而唯一有突破的一次证明还是在霍奇猜想提出之前，是由美国数学家莱夫谢茨于1925年解决的，他证明了霍奇猜想的一种情况。

黎曼猜想

黎曼猜想究竟讲了什么呢？就是一个寻找质数的方法。

黎曼通过研究，发现质数出现的频率的规律，提出了黎曼Zeta函数，黎曼Zeta函数是一个无穷级数的求和。

Zeta函数

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。

第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

而第三个命题就是重头戏了：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。

黎曼猜想涉及道质数，一旦素数之秘被解开，无需量子计算机，根据其原理甚至能破解现代银行的安全密码体系，让银行进入破产。

不仅是银行，那么现在几乎所有互联网的加密方式将不再安全，互联网变成一个裸奔的世界解。

所以数学家将对黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”。

杨-米尔斯存在性和质量缺口

1954年初，杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了杨·米尔斯理论，在此基础上，科学家由此实现了强弱相互作用和电磁相互作用的大一统，爱因斯坦后半生苦苦思索的统一场论至死没有实现，但杨振宁的杨—米尔斯理论却居然一举统一了宇宙四种基本力的三种。

杨·米尔斯理论中杨·尔斯方程已经获得巨大成功，但是其相应的数学理论还没有建立起来。他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。

特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。该假设提供了电子为什么有质量的一种解释。质量缺口假设的完全解决将提供严格的理论证明，也将阐明物理学家尚未完全理解的自然界的基本方面。此前物理学家只能观察到电子有质量，却无法解释电子的质量从何而来。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

杨-米尔斯存在性和质量缺口问题的正式表述是：证明对任何紧的、单的规范群，四维欧几里得空间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解。

纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性

相比起黎曼猜想、费马大定理、哥德巴赫猜想等全球知名的难题，纳维-斯托克斯方程的存在感很低，即使在世界千禧年七大难题里，也很少会有人提及，最重要的原因就是，这个难题实在是不太好理解。

1775年，著名数学家欧拉，他在《流体运动的一般原理》一书中根据无粘性流体运动时流体所受的力和动量变化从而推导出了一组方程。方程如下：(ax²D²+bxD+c）y=f(x）（只是其中一种形式，还有泛函极值条件的微分表达式等），这是属于无粘性流体动力学（理想流体力学）中最重要的基本方程。

1821年，著名工程师纳维推广了欧拉的流体运动方程，考虑了分子间的作用力，从而建立了流体平衡和运动的基本方程。方程中只含有一个粘性常数。

1845年斯托克斯从连续统的模型出发，改进了他的流体力学运动方程，得到有两个粘性常数的粘性流体运动方程的直角坐标分量形式，这就是后世所说的纳维-斯托克斯方程。

纳维-斯托克斯方程是众多科学家和工程师的推动下产生的，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率（力）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力（类似于摩擦力）以及引力之间的关系。

关于这组方程所涉及的难题就是，如何用数学理论阐明这组方程。所以有关纳维-斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题被称为纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性。

BSD猜想

BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。

该问题的表述为：给定一个整体域上的阿贝尔簇，猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数，且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。

前半部分通常称为弱BSD猜想。BSD猜想是分圆域的类数公式的推广。格罗斯提出了一个细化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的对于motif的Bloch-Kato猜想。

攻克数学难题的路途就是人类社会前行发展的路途，在攻克的过程中，会产生许多新的数学方法、数学工具、数学规律等，这些新方法、新规律不仅对数学的发展起着重要的推动作用，还会作用于人类生活，推动社会生产力发展。所以希尔伯特将数学难题称之为“下着金蛋的鹅”。