图1

父：你现在学习到了等差数列求和，现在和你说一下。

女：啥？等差数列求和，没学呢！

父：你现在做的这个题目就是啊！

女：哦。

父：首先说一个数学概念：数列。数列就是一组数，排列在一起，比如“1、2、3……”，这个是什么？

女：这个我知道，是自然数。

父：对，这个就是自然数列。你能举个其他的例子吗？

女：嗯，我想想。比如：2、4、6、8……，这个是偶数。

父：很好，这个是偶数列。数列里面有一个个的数字，我们把它叫做“项”，然后就有相关的概念，第一项叫首项，最后一项叫做尾项。我们用字母代替数字，就有一个数列的一般表达方式,a1、a2、a3……an、字母的下标的数字代表“第几项“。

女：明白，首项就是a1，尾项就是an

父：嗯，那么我们还回到自然数列来，你还记不记得小时候给你讲“1、2、3……100”，高斯小时候的故事。

女：嗯，记得。别的小朋友是一个一个地加，高斯用1+100，2+99，……，一共50组数，所以答案是5050.

图2

父：不错，你还记得。但是这是高斯的方法啊，不是你自己的方法。

女：那还有更快，更好的方法吗？

父：嗯，应该说你自己思考，会有更有意思的方法。

女：什么方法？

父：先看到这个题目，你想的是什么办法？

女：一个一个的加啊。

父：对，不要小看这种方法，起码是一个办法，比没有办法强！

女：我懒得算啊！

父：懒可要不得。一个懒字就错过很多精彩的东西。

女：是吗？

父：你看啊，我们先考虑第一个思路，从1加到100不管，我们先从1加到10可以不？这样是不是容易很多了？

女：还是要算啊！1+2=3，3+3=6，6+4=10，10+5=15，15+6=21，21+7=28，28+8=36，36+9=45，45+10=55.

父：嗯，不错，算得不慢。这样就是用最基本的方法做的。你有没有想过，以前我教给你的凑整的方法，比如2+8=10，3+7=10？这样是不是更容易算些

女：嗯，1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10，5，10，40+15=55；口算是好算一些。

父：这个思路能不能用在1+100呢？

女：我试试，1+99=100，2+98=100，……，49+51=100，剩下一个50和100，总共有50个100，答案是5050. 哈哈，比高斯的办法也不差啊，还容易口算。

父：是吧，这不就是你自己根据已经学过的东西，研究的自己的算法。你看1到10，答案是55. 那么11到20 与1加到10有什么关系，相加之和是多少呢？

女：嗯，11到20的每一个数比对应的1到10的每一个数大10，总共10个数字，所以11加到20，应该是100+55=155.

父：嗯，不错。你还可以用你已经掌握的凑整法计算一下。

女：我试试。11+19=30，12+18=30，13+17=30，14+16=30，剩下15和20，120+35=155；还是刚才的方法好。

父：嗯，你也发现了。这很重要，通过已知的运算结果会大大提高运算效率，这样你就计算的又快又好。那按照你的想法，21到30，31到40，直到91到100，每一组10个数字相加有什么规律

女：这个我明白了，后边一组十个数字之和都比前一组大100

父：那么如果都对比1到10呢？

女：11到20大100，21到30大200，31到40大300，41到50大400，51到60大500，61到70大600，71到80大700，81到90大800，91到100大900.

父：那你看，每一组都有55，一共有十组，而不一样就是100，200，……，900.而这又是1加到9，再扩大100倍

女：啊哈，我知道了，55*10=550，1加到9是45，再乘以100，是4500. 550+4500=5050.这样也能算出来啊。并且这里面套了一个1+9的方法。让我想想，这里面的结构有意思。

父：看，这样你又研究出了一种新的解法。然后，我们再回到最初想想。2=1+1，3=1+1+1，4=1+1+1+1，以此类推

女：这个没什么意义吗

父：是不是后面的数字都比前面的大1，这个就叫“前后项差相等”，所以简称“等差”？

女：是，然后呢？

父：你如果把他们写下来，如下图

图3

女：哦，这样就是一个三角形，求和就是求三角形的面积，有多少行，多少列？

父：哈哈，对，但是不能简单的当作是”面积“，你用三角形面积公式计算一下

女：高是10，底也是10，所以底乘高除以2，答案是50.为啥不一样？少了5。

父：如果用你上边凑整的办法，图形就变成这样。

图4

女：对，这样就补充成一个正方形了，这个正方形有10行，10列，所以总数是100.

父：是的，你也注意到了，红色部分和黑色部分不是相等的，因此不能直接除以2，红色部分最大的是9，而不是10. 可以在第9行来看，刨除最后一行就是9*10=90，一半就是45.

女：那能不能直接补充成红色和黑色一样呢？

父：当然可以，如图

图5

女：哦，这样就多了一行，变成了11行，所以是11*10=110 一半就是55. 啊哈！这如果用来计算1加到100，就是高斯的做法啊！

父：你明白啦，你原来是只考虑了数，没有考虑形状。这其实是让你进行”图形思考“，”可视化思考“，有些方法就会变得显而易见。你在看看这个图

图6

女：哦，我看出来了，这个就是先计算1到10，以后的每组10个数都比前一组大100，多出的部分又组成了100到900的运算.

父：没错，关于自然数列求和你就明白了原理和方法,我帮你总结一下：

暴力法——不管那么多，我就闷头算凑整法——口算经常用到由小到大，分析差别——先算1~10，比较差别 “高斯法”，首尾相加图形可视化法

你悉心体会，还有更多的办法。

女：确实啊，以前没有想过这么多。

父：以后勤于思考，不要局限于题目的答案上，不要因现成的方法局限自己的思路。这很重要。而且一些问题深入思考以后，你会发现很有意思。

女：嗯，是有意思，比写作业有意思。

父：现在我们把这个方法推广至一般情况，我们把自然数列写成（1,2,3 ……n),

女：啥叫一般情况？不都算出来了吗，为啥还推广。

父：这个是一个极为重要的思想，先做出一个特殊情况的结果，然后不断把条件放宽，让这个结果可以在更大范围有作用。一方面是让我们手上的武器在处理问题时更强劲，另一方面加深我们对事物规律的认知。自然数列是最简单的等差数列，我们先把这个方法推广到任意自然数列求和，然后再推广到任意等差数列求和。

女：嗯，好像越来越复杂了。

父：我们把n项数列和命名为Sn.尝试计算一下这个数值。

女：Sn=1+2+3+……+n. 别说，让我来算下。把这个三角形反过来，两个凑一个长方形，

边长分别就是n和(n+1),然后除以2.所以

Sn=n(n+1)/2

父：很漂亮，推导出公式了。这就是高斯方法的代数表达式。你可以验证一下，从1加到10，从1加到100.

女：哈哈，一般一般。我还是有聪明才智的啦！把n=10带入，S10=10*11/2=55,

父：正确！你没发现，如果有了这个公式，你在计算起来快多了？

女：确实，确实。我再算一下1加到100，S100=100*101/2=5050.哈哈，Doublekill!

父：有了这个一般公式，无论多大的数字，你都可以计算了，并且速度非常快。比如说，从1加到1000.

女：我算算，S1000=1000*1001/2=5000500，厉害啦，我的爹！

父：你还可以计算更大的数字，再也不用一个一个算啦。我们再进一步，我想知道51到100的和，怎么计算？

女：交给我，嗯，通过公式我能算出S100，我也能算出S50，S50~100=S100-S50=100*101/2-50*51/2=50*101-25*51=25*（202-51）=3775

父：不错，不错。你已经学会灵活使用这个公式了。向深入思考还有更多有意思的事情……

（未完待续）