前言：
而今看官们对“二维数组二分法”大体比较关注，同学们都需要了解一些“二维数组二分法”的相关内容。那么小编同时在网上汇集了一些关于“二维数组二分法””的相关知识，希望看官们能喜欢，看官们一起来了解一下吧！这道题主要是利用搜索二维矩阵本身的特性，找到其中的规律，就可以解决了。
原题
编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：
每行的元素从左到右升序排列。每列的元素从上到下升序排列。
示例:
现有矩阵 matrix 如下：
[ [1, 4, 7, 11, 15], [2, 5, 8, 12, 19], [3, 6, 9, 16, 22], [10, 13, 14, 17, 24], [18, 21, 23, 26, 30]]
给定 target = 5，返回 true。
给定 target = 20，返回 false。
原题url：
解题
这道题相比之前的二维矩阵，可能有序性没有之前那么强，所以没法直接拉成一个一维数组利用二分法查找，需要结合其特性，进行查找。
暴力解法
就是一行行、一列列慢慢找。假设是一个m * n的二维数组，那么时间复杂度就是O(mn)，这个方法没什么好说的，贴个代码看看：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { for (int i = 0; i < matrix.length; i++) { for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) { if (matrix[i][j] == target) { return true; } } } return false; }}行列同时寻找
这是我自己想的方法，就是每次查找行列，只查每一行每一列最大值和最小值。根据这个二维数组的特性，找出可能存在 target 的行列的范围，然后逐渐缩小，如果行列相同时，则开始遍历寻找。
让我们看看代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { if (matrix.length == 0) { return false; } return search(0, matrix.length - 1, 0, matrix[0].length - 1, matrix, target); } private boolean search( int rowStart, int rowEnd, int colStart, int colEnd, int[][] matrix, int target) { if (rowStart == rowEnd || colStart == colEnd) { if (rowStart == rowEnd) { for (int i = colStart; i <= colEnd; i++) { if (matrix[rowStart][i] == target) { return true; } } } else { for (int i = rowStart; i <= rowEnd; i++) { if (matrix[i][colStart] == target) { return true; } } } return false; } // 是否有合适的行，默认没有 boolean has = false; // 新的rowStart、rowEnd int newRowStart = 0, newRowEnd = 0; // 筛选行 for (int i = rowStart; i <= rowEnd; i++) { // 如果相等，说明找到了 if (matrix[i][colStart] == target || matrix[i][colEnd] == target) { return true; } // target大于这一行的最大值，直接跳过 if (target > matrix[i][colEnd]) { continue; } // target小于这一行的最小值，说明之后的就不用找了 if (target < matrix[i][colStart]) { break; } // 如果是第一次找到 if (!has) { has = true; newRowStart = i; } newRowEnd = i; } // 如果没有找到 if (!has) { return false; } has = false; int newColStart = 0, newColEnd = 0; // 筛选列 for (int i = colStart; i <= colEnd; i++) { // 如果相等，说明找到了 if (matrix[newRowStart][i] == target || matrix[newRowEnd][i] == target) { return true; } // target大于这一列的最大值，直接跳过 if (target > matrix[newRowEnd][i]) { continue; } // target小于这一列的最小值，说明之后的就不用找了 if (target < matrix[newRowStart][i]) { break; } // 如果是第一次找到 if (!has) { has = true; newColStart = i; } newColEnd = i; } // 如果没有找到 if (!has) { return false; } return search(newRowStart, newRowEnd, newColStart, newColEnd, matrix, target); }}时间复杂度上，应该是比最基础的暴力法好一些，但应该也是没有本质区别。
行列同时二分查找
以行列总数中较小的那个数，选择构成正方形的正对角线，每一次按照二分法，查找相应的行列，可以参考下面这张图：
每次都会对行和列各用一次二分法，逐步排查。让我们看看代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { if (matrix == null || matrix.length == 0) { return false; } // 利用二分法搜索 // 寻找出行数、列数中较小的那个值，作为迭代次数 int count = Math.min(matrix.length, matrix[0].length); int low, high, middle; // 迭代循环 for (int i = 0; i < count; i++) { // 从(i,i)开始，寻找这一行是否有target low = i; high = matrix[0].length - 1; while (low <= high) { middle = (low + high) / 2; if (matrix[i][middle] == target) { return true; } if (matrix[i][middle] > target) { high = middle - 1; } else { low = middle + 1; } } // 从(i,i)开始，寻找这一列是否有target low = i; high = matrix.length - 1; while (low <= high) { middle = (low + high) / 2; if (matrix[middle][i] == target) { return true; } if (matrix[middle][i] > target) { high = middle - 1; } else { low = middle + 1; } } } return false; }}这个方法的时间复杂度为O(lg(n!))。
这个算法产生的时间复杂度并不是特别明显的是 O(lg(n!)) ，所以让我们一步一步地分析它。在主循环中执行的工作量逐渐最大，它运行 min(m,n)次迭代，其中 m 表示行数，n 表示列数。在每次迭代中，我们对长度为 m-i 和 n-i 的数组执行两次二分查找。因此，循环的每一次迭代都以 O(lg(m-i)+lg(n-i)) 时间运行，其中 i 表示当前迭代。我们可以将其简化为 O(2 lg(n-i))= O(lg(n-i)) ，在最坏的情况是 n≈m 。当 n≪m 时，n 将在渐近分析中占主导地位。通过汇总所有迭代的运行时间，我们得到以下表达式：O(lg(n)+lg(n−1)+lg(n−2)+…+lg(1))然后，我们可以利用对数乘法规则（lg(a)+lg(b)=lg(ab)）将复杂度改写为：O(lg(n)+lg(n−1)+lg(n−2)+…+lg(1))=O(lg(n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅1))=O(lg(1⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n))=O(lg(n!))
划分为四个二维数组
这是一种递归查找，同样也是利用了这个二维搜索数组的特性。我们在当前矩阵中间的列上进行比较，如果小于 target 就继续向下比较，直到找到比 target 大的数，此时递归查找左上和右上的矩阵。
以下面这张图为例，我们假设target = 9，那么中间列找到 10 以后，发现比 9 大，因此寻找左上和右上两个标红的矩阵：
接下来我们看看代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { if (matrix == null || matrix.length == 0) { return false; } // 利用搜索二维矩阵的特性，划分为2个搜索矩阵进行递归搜索 return searchRecursive(0, 0, matrix[0].length - 1, matrix.length - 1, matrix, target); } /** * 左上角和右下角的坐标，在这个二维矩阵中进行搜索 */ private boolean searchRecursive( int left, int up, int right, int down, int[][] matrix, int target) { // 此时矩阵的长度或者宽度为0，那么就没有必要搜索了 if (left > right || up > down) { return false; } // 如果target小于该矩阵的最小值(左上角)或者大于该矩阵的最大值(右下角)，也没有必要搜索了 if (target < matrix[up][left] || target > matrix[down][right]) { return false; } // 利用列进行拆分 int mid = (left + right) / 2; // 从上到下开始寻找 int row = up; for (; row <= down; row++) { if (matrix[row][mid] == target) { return true; } // matrix[row][mid]作为一个标准点，如果小于target，则继续往下一行寻找 if (matrix[row][mid] < target) { continue; } // 如果matrix[row][mid]大于target，则停止增加 break; } return searchRecursive(left, row, mid - 1, down, matrix, target) || searchRecursive(mid + 1, up, right, row - 1, matrix, target); }}时间复杂度：O(nlgn)。分析如下：
单向寻找
结合该二维数组的特性，我们希望在进行比较的时候，只往一个方向寻找，这样可以简化查询步骤。如果从左上(最小)开始寻找时，如果 target 比当前值大，我们不知道是该往右移还是往下移，右下(最大)同理。
此时我们可以换一种思路，从左下开始，因为比它小的数一定在它右边，比它大的数一定在它右边，这样寻找的时候就简单多了。
接下来我们看看代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) { if (matrix == null || matrix.length == 0) { return false; } // 从左下角开始寻找，如果当前值大于target，则向上移动一行；如果当前值小于target，则向右移动一列。 // 直到找到target，或者超出矩阵边界 // 列的最大值 int colMax = matrix[0].length - 1; // 行列开始的下标 int row = matrix.length - 1; int col = 0; while (row >= 0 && col <= colMax) { if (matrix[row][col] == target) { return true; } // 如果大于target，则向上移一行 if (matrix[row][col] > target) { row--; } // 如果小于target，则向右一列 else { col++; } } return false; }}时间复杂度：O(n+m)。如果和上面一样，假设 n << m，那么就是 O(m)，总的来说，还是比较高效的。
总结
以上就是这道题目我的解答过程了，不知道大家是否理解了。这道题目主要还是在于利用二维搜索数组的特性，完成解题。
有兴趣的话可以访问我的博客或者关注我的公众号、头条号，说不定会有意外的惊喜。
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