什么是复杂度？

我们使用数据结构和算法，就是要解决程序执行的速度问题，那么如何让代码运行地更快，如何让代码更省存储空间呢？执行效率是算法的一个重要的考量指标，那么如何来衡量代码的执行效率呢？就需要时间、空间的复杂度分析。

为什么需要复杂度分析

大家平时可能会把代码跑一遍，然后通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小了。那我们为什么还要做时间、空间的复杂度分析呢？

其实这种评估算法执行效率的方法是正确的。这种方法被称为事后统计法。但是这种统计方法有很大的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如,我们拿同样一段代码,分别用 Intel Core i7 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行,不用说,i7 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。

2. 测试结果受数据规模的影响很大

对同一个排序算法,待排序数据的有序度不一样, 排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下,如果数据已经是有序的,那排序算法不需要做任何操作,执行时间就会非常短。除此之外,如果测试数据规模太小,测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如,对于小规模的数据排序,插入排序可能反倒会比快速排序要快!

所以,我们需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就 是时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率其实就是算法代码执行的时间。但是,如何在不运行代码的情况下,用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢?

例如：求 1,2,3...n 的累加和。那我们如何用肉眼得到执行时间呢？

1 int cal(int i) {2 int sum = 0;3 int i = 1;4 for(; i<=n; ++i) {5 sum = sum + i;6 }7 return;8 ｝

这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为一个unit_time。在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n*unit_time 的执行时间,所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。可以看出来,所有代 码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

接下来看下面这个例子

1 int cal (int n) {2 int sum = 0;3 int i = 1;4 int j = 1;5 for (; i <= n; ++i) {6 j = 1;7 for (; j <= n; ++j) {8 sum = sum + i * j;9 }	10 }11 }

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?

第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间,第 7、8 行代码循环执行了n²遍,所以需要 2n² * unit_time 的执行时 间。所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一 个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

于是我们根据这个规律总结出一个公式。这就是大O时间复杂度表示法。

T(n) = O(f(n))

其中，T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n²)。

时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？我这儿有三个比较实用的方法可以分享给你。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

我刚才说了，大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

为了便于你理解，我还拿前面的例子来说明。

1 int cal(int n) {2 int sum = 0;3 int i = 1;4 for (; i <= n; ++i) {5 sum = sum + i;6 }7 return sum;8 }

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

这里还有一段代码。你可以先试着分析一下，然后再往下看跟我的分析思路是否一样。

1 int cal(int n) {2 int sum_1 = 0;3 int p = 1;4 for (; p < 100; ++p) {5 sum_1 = sum_1 + p; 6 }7 int sum_2 = 0;8 int q = 1;9 for (; q < n; ++q) {10 sum_2 = sum_2 + q;11 }12 int sum_3 = 0;13 int i = 1;14 int j = 1;15 for (; i <= n; ++i) {16 j = 1; 17 for (; j <= n; ++j) {18 sum_3 = sum_3 + i * j;19 } 20 }21 return sum_1 + sum_2 + sum_3;22 }

这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n²)，你应该能容易就分析出来。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积 我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则,这儿还有一个乘法法则。类比一下,你应该能“猜到”公式是什么样子的吧?

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是说,假设 T1(n) = O(n),T2(n) = O(n2),则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环,我举个例子给你解释一下。

1 int cal(int n) {2 int ret = 0; 	3 int i = 1;4 for (; i < n; ++i) {	5 ret = ret + f(i);6 } 	7 } 8 int f(int n) {9 int sum = 0;10 int i = 1;11 for (; i < n; ++i) {12 sum = sum + i;13 } 14 return sum;15 }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数 的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

空间复杂度分析

前面讲了大O表示法和时间复杂度分析，下面来介绍下空间复杂度分析方法。

我们知道时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

我们来看下下面的例子

1 void print(int n) { 2 int i = 0;3 int[] a = new int[n];4 for (i; i <n; ++i) {5 a[i] = i * i;6 } 7 for (i = n-1; i >= 0; --i) {8 print out a[i] 9 } 10 }

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握这些就够了。