1 逻辑回归分类器

逻辑回归由统计学家 David Cox 于 1958 年提出。与传统的线性回归不同，逻辑回归（logistic regression）中响应变量（因变量）的取值不是连续的，而是离散的，每个取值代表一个不同的类别。因此，逻辑回归的本质是一个分类器（classifier）。它是一种有监督学习，通过训练集数据中的样本的特征向量 x 和标签 y（即响应变量的类别）来训练模型的参数，并使用该模型对未来的新样本进行分类。

最简单的逻辑回归中响应变量是二分类的（binary），即它仅仅可以取两个值，代表不同的两类。按照惯例，它的取值为 0 和 1。即便是最简单的模型也有广泛的应用，比如这两类可以代表着比赛中的输和赢、考试中的通过和失败、医疗领域的健康和生病、以及股市中的涨和跌等。如果响应变量的取值多于两类，则这样的问题叫做多项逻辑回归（multinomial logistic regression）。

本文以最简单的二元逻辑模型（binary logistic model，即响应变量 y 只能取 0 和 1 两个值）为例，介绍逻辑回归的数学含义以及它在量化选股中的应用。本文的最后会简单谈一谈求解多项逻辑回归——即 Softmax 回归——以及它在卷积神经网络中的应用。

下文中如无特殊说明，当我们提到“逻辑回归”时，指代的都是最简单的二元逻辑回归。

2 数学意义

在二元逻辑回归中，回归模型根据样本点的特征（features）计算该样本点属于每一类的条件概率。在数学上，通过给定的函数将样本点的 n 维特征向量 x 转化成一个概率标量。具体的，具备特征向量 x 的样本点属于 1 和 0 两类的条件概率为：

其中，函数 σ(z) ≡ 1 / (1 + exp(-z)) 被称为逻辑函数（logistic function）或 sigmoid 函数（因为 σ(z) 形如 S 曲线）；它的取值范围在 0 和 1 之间。逻辑回归的目的是通过训练集数据找到最优的权重 w 使得分类结果尽量同时满足如下目标：

当一个样本点的真实分类是 1 时，h_w(x) 尽可能大；当一个样本点的真是分类是 0 时，h_w(x) 尽可能小（即 1 - h_w(x) 尽可能大）。

逻辑回归将样本点的特征向量 x 按照权重 w 进行线性组合得到标量 z，再将 z 放入逻辑函数 σ(z) 最终求出该样本点属于类别 1 以及 0 的概率，从而对其进行分类——如果 h_w(x) > 1 - h_w(x) 则该样本点被分为类别 1，反之为类别 0。

如何决定权重 w 呢？

假设训练集共有 m 对儿数据 {(x_i, y_i), i = 1, 2, …, m}，为了尽量同时实现上述目标，定义 cost function 如下：

使用训练集数据训练模型的参数 w 以使上述 cost function 最小化。对于训练集中的每一个样本点，上述方程的两项中有且仅有一个不为 0。对于第 i 个样本点，如果 y_i = 1，则最小化上述方程意味着最大化 h_w(x_i)，即最大化该点被分类为 1 的概率；同理，如果 y_i = 0，则最小化上述方程意味着最大化 1 - h_w(x_i)，即最大化该点被分类为 0 的概率。

从上面的论述可知，J(w) 同时考虑了 1 和 0 两类分类的准确性。使用训练集对该模型训练，找到最优的 w，使得 J(w) 最小，这就是逻辑回归模型的学习过程。一旦确定了模型参数，就可以使用它对新的样本进行分类。对于新的样本点特征向量 x'，如果 h_w(x') > 0.5，则该点被分到 y = 1 类；反之被分到 y = 0 类。最优化 J(w) 可以采用梯度搜索（gradient search），为此只需要计算出 J 的梯度 ∇J(w)，在此不再赘述。

最后值得一提的是，在计算特征向量的线性组合时，往往会额外考虑一个截距项。这相当于在原始 n 维特征向量 x 中加入一个元素 1（因此特征向量变为 n+1 维），而x的线性组合也因此变为：

当然，这个截距项不是必须的。使用者可以根据待解决的问题判断是否应该在特征向量中加入该项。流行的统计分析工具（比如 Python 的 sklearn）允许使用者自行决定是否在模型中加入截距项。

3 一个例子

让我借用 Wikipedia 上面的例子来说明逻辑回归的应用。

这是一个关于学习时间和考试通过与否的例子。假设一共有 20 名学生（样本点），特征向量为截距项 1 和学习时间组成的二维向量。考试结果分为 1（通过）和 0（失败）。我们采用逻辑回归来建立考试时间和通过与否之间的关联。训练集数据如下：

使用训练集数据建模，得到的逻辑回归模型参数（特征向量的权重）：

学习时间的权重为：1.5046截距项的权重为：-4.0777

从模型参数可以看出，是否通过考试和该学生的努力程度（学习时间）是正相关的，这符合人们的预期。将模型参数带入到 sigmoid 函数中便可计算出给定学习时间下考试通过的概率：

使用该模型便可以对新的考生是否通过考试进行判断。将训练集中的 20 名考生的学习时间带入到上式可绘制图这个 sigmoid 函数（确实形如 S 曲线）：

4 使用逻辑回归选股

经过上面的介绍，我们已经对逻辑回归的原理和它的应用有了一定的认识。下面就来将它应用于量化投资相关的领域——选股。

为说明这一点，使用股票的因子作为特征向量，使用股票的涨跌强弱作为响应变量，建立逻辑回归模型来选股。

本实验中，以中证 500 的成分股为例。特别的，考虑 2016 年 12 月 31 日时这 500 支成分股的最新截面因子数据。考察的十个因子包括：EP、BP、ROE、Liability/Asset、规模、换手率、动量、反转、市场 β、残差波动率。

由于选股的目的是使用因子来对未来的收益率做预测，因此我们使用这 500 支成分股在 2017 年 1 月份的收益率作为响应变量的原始数据。由于在二元逻辑回归中，响应变量必须是二元的，因此我们需要将这 500 支个股的绝对收益率转换成 0 和 1。为此，可以有以下几种方法：

使用绝对收益率的涨跌为依据：个股的收益率大于 0 则分到 1 类；收益率小于 0 则分到 0 类；使用相对市场收益率的涨跌为依据：由于个股和市场十分相关，而且它们都以不同的程度暴露于市场风险之中，因此考虑个股收益率与中证 500 指数收益率的大小关系。个股收益率大于指数收益率则分到 1 类；个股收益率小于指数收益率则分到 0 类。使用个股之间的相对强弱为依据：直接考察个股之间的收益率的相对大小，将收益率处于中位数之上的个股分到 1 类；将收益率处于中位数之下的个股分到 0 类。

在量化选股中，为了对冲掉市场风险，往往希望判断股票的相对强弱。实验中采用上述的第三种方法将股票的收益率转化为二元响应变量。

训练集数据准备就绪，便可以训练回归模型。假设特征向量中不考虑截距项，得到的回归模型参数如下。

由于实验中仅仅使用了一期的截面数据，因此解释这些因子权重的符号并没有太大作用。不过我们还是可以看出，收益率和 BP 以及 ROE 成正比。有意思的是，收益率和 β 成反比。这似乎说明市场更加青睐小 β 的蓝筹股。想更系统的分析每个因子对于选股的作用，需要使用多期数据同时在时间和截面两个维度进行逻辑回归。

接下来看看在这个简单的实验中，逻辑回归模型对样本内数据的分类正确性。预测的正确性必须从准确率和召回率两方面同时评价。假设我们预测一共有 X 支股票上涨，其中有 A 支猜对了、B 支猜错了；我们预测一共有 Y = (500 - X) 支下跌，其中有 C 支猜错了、D 支猜对了。则这两个指标的定义为：

准确率衡量的是在所有你猜测的某一类（涨或跌）样本中，有多少是正确的；而召回率是用来衡量在所有某一类的（涨或跌）样本中，有多少被你猜出来了。

对于实验中的这个逻辑回归模型，它的正确性如下：

猜涨准确率：68.8%猜涨召回率：66.7%猜跌准确率：62.4%猜跌召回率：65.5%

仅从这些数字上来看，似乎效果还不错。但是不要忘记，这仅仅是对样本内数据的判断结果（模型就是用它们来构建的）；这些不说明样本外的预测准确性。

通过这个例子，仅仅想说明利用逻辑回归可以进行量化选股。因此，我们的例子止于此。在真正应用中，正如前文提到的，应该使用多期在时间和截面两个维度的样本数据建模，并采用交叉验证来评价模型在样本外的分类准确性，以此最终确定模型的参数。

5 逻辑回归、Softmax 回归和卷积神经网络

最后，简单谈谈逻辑回归、Softmax 回归和卷积神经网络的关系。

先来说说神经网络（neural networks），它由多个、多层神经元（neuron）构成，每个神经元就是一个计算单元（见下图），由输入特征、输出值、以及激活函数构成：

在这个例子中，x_1、x_2、x_3 和截距项 1 就是输入的特征，h_w(x) 就是输出，而逻辑回归中的 sigmoid 函数就是一种常见的激活函数（其他常见的激活函数包括 tanh 函数和 max 函数等）。

再来看看 Softmax 回归。它是一种多项逻辑回归，即响应变量的取值大于两类。假设共有 K > 2 类，每个样本点的响应变量 y_i 的取值为 1 到 K 之间的某一个值。多项逻辑回归的应用更加广泛，比如在手写数字识别中，一共有 0 到 9 是个数字，因此一共可以有 10 类。

将二元逻辑回归的数学含义延伸易知，在 Softmax 回归中我们希望计算出样本点在其给定的特征向量下，属于每一类的条件概率：

其中 θ^(1)，θ^(2)，……，θ^(K) 为模型的参数，通过训练集数据训练得到。与二元逻辑回归类似，定义 cost function 如下：

其中 1{} 为指示函数，当 {} 中的条件为真时，它的取值为 1，否则为 0。通过最小化这个目标函数就可以得到最优的参数 θ^(1)，θ^(2)，……，θ^(K)。求解时同样可以采用梯度搜索法。

Softmax 回归往往作为卷积神经网络（Convolutional Neural Network）的最后一步。卷积神经网络是在神经网络上发展出来的，可以被用来进行图像识别的强大工具。传统神经网络在面对高像素的图像进行识别时无能为力，这是因为高像素对应的特征数巨大，远超过计算机可以承受的范围；此外巨大的特征也使得特征矩阵非常稀疏。卷积神经网络通过卷积计算对原始的特征进行高度的抽象，通过局部感知和参数共享大大的减少了特征数。此外，它通过使用多层卷积以及池化等手段，进一步抽象特征，最终得到原始图像的高度提炼的信息。而在最后一步，使用这个高度抽象的信息对图像进行分类（识别），计算它属于不同类别的概率。在实际应用中，图像的类别往往成百上千，甚至更多，这便要用到 Softmax 回归。

上面的介绍说明掌握逻辑回归是学习神经网络的基础。更加详细的介绍超出本文的范畴，推荐读者自行阅读相关资料。

参考文献