来源：力学酒吧（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟

推箱子、拉箱子是日常生活中常见的场景，很多人可能会感受到 “推” 或 “拉” 时，使力的程度会有所不同。那么到底是推箱子省力还是拉箱子省力呢？

为了说明这一问题，我们考虑图1(a) 所示的箱子，其长为L，高为H，设其重为G。当不推箱子时，支持力沿着箱子底部均匀分布，将其简化为集中力FN，则FN与G等大、共线、反向，构成一对平衡力。

图1 推箱子受力图

假想在左侧有一水平推力F，距离地面为h，如图1(b)所示，此时，地面对箱子的支持力将不再均匀分布。这是因为，当施加水平推力后，箱子将因具有相对运动趋势产生摩擦力f，此时，F与f大小相等，方向相反，但不共线，它们将构成一对力偶，设为M1，这将使得箱子有顺时针翻转的趋势。

箱子一旦具有了向右翻转的趋势，箱子的左侧支撑力就会减小，右侧支撑力增大，将分布的支撑力等效为集中力FN，其作用点将向右移动一定的距离，设为d，如图1(b)所示。则此时的支撑力将与G构成力偶，设为M2。假设所施加的力不足以使箱子发生翻转，M1与M2保持平衡，列出平衡方程，有

当d=L/2时，箱子将达到翻转的临界状态，将这一条件代入式(1)，可得临界推力为

再考虑到最大静摩擦力为

其中，

为静摩擦系数，令临界推力等于最大静摩擦力，可得

消去G可知，可见，当

时，箱子将发生滑动，而不会翻转。若

时，箱子将不会被推动，而是翻转。可见如果想推动箱子，可以将h减小，即尽量使力的作用点低一些。

再来分析拉箱子时的受力。如图2所示，当在图示箱子右侧有施加拉力F时，同样假设F距离地面的高度为h，此时由于箱子相对于地面有向右的运动，其将产生向左的摩擦力，F与f也将产生力偶，该力偶同样会使得箱子具有顺时针翻转的趋势，为了平衡这种趋势，地面对箱子的摩擦力仍会向右集中，其等效集中力如图1(b)，也会向右移动一定的距离，如图2所示。

图2 拉箱子受力图

对比图1(b)和图2，可以发现，虽然两者的作用点不一样，但其作用效果完全相同。实际上，只要力在其作用线上移动，就不会改变物体的受力状态，因此也可以将力的三要素由力的大小、方向、作用点，替换为力的大小、方向、作用线，如图3所示。

图3 推力沿其作用线滑移、作用效果不变

可以认为，对于推箱子而言，只要保持水平推力的方向不变，且作用点在力的作用线上，任意一点的作用效果都是相同的。这就说明，如果我们水平推、拉箱子，其作用效果完全相同，并不会出现一种情况比另一种情况省力的现象。我们之所以会感觉到推、拉效果不同还有另外的原因。

现在，我们假设在拉箱子的时候，作用力为斜向上方向，倾角为θ。规定推力斜向上时θ为正，斜向下时θ为负。设箱子已被推动，忽略矩平衡方程，列出水平方向和竖直方向的平衡方程为

图4 斜拉力示意图

这里

代入式(4)消去FN，得

式(5)中，由于μ，G为常数，因此推力F就成了θ的函数。设箱子的重量为4000N，摩擦系数μ=0.1，画出推力F和倾角θ的关系曲线，如图5所示，从图中可以看出当推力向上倾斜大约为6o时取得最小值，此时最为省力。

图5 推力F和的关系曲线

在上述分析中，我们假设了地面不发生变形，如果地面较软的话，地面有可能发生变形，如图6(a)所示。当然，这种变形量很小，一般肉眼难以看出。对于这种情况，如果以倾斜向上的力拉箱子，箱子前端会略微抬起，如图6(b)所示，这将有利于拉动箱子。

图6 地面变形示意图

这种情况下，如果推箱子，斜向下用力，将会增加支撑力FN，如图7(a)所示，从而增加地面对箱子的摩擦力f，而且推动箱子向右运动的分力也会减小为Fcosθ。如果斜向上用力，将增加箱子前端地面的变形量，从而增加阻力。从这个角度看，用具有恰当的向上倾斜的力拉动箱子才是省力的原因。

图7 地面变形示意图

综上所述，可见当不考虑地面变形时，用水平力推、拉箱子，其作用效果完全一样，并不存在哪种方式更省力。如果考虑实际情况，人们在拉箱子的时候，往往会有略微的倾角，如果该倾角接近于6o，将会起到省力的作用。如果考虑地面变形，由于箱子前端会陷入地面中（变形量很小），以倾斜向上的力拉箱子可减小箱子前端的阻力，从而达到省力的目的。

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