求极限函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点曲线的渐近线方程的根不等式的证明中值定理的证明题

微分中值定理

定理1：费马引理：

如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0

根据图像比较容易得出结论

定理2：罗尔定理：

如果函数在闭区间连续，开区间可导

两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0

证明：

方法一，几何明显

方法二，一定存在最小值m,最大值M

m==M，则可以证明导数处处为0

m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0

定理3：拉格朗日中值定理：

上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率

定理4：柯西中值定理

存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值

证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导

三个微分中值定理

意义：建立函数和导数之间的关系

罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例

但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点

泰勒公式

泰勒公式意义

建立函数和高阶导数的连接

把函数用多项式逼近

两种余项的泰勒公式

皮亚诺余项

拉格朗日余项

区别：

条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导

关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小

拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）

皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值

拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式

常用五个泰勒公式

导数的应用

单调性：

根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性

函数的极值：

在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值

定理8：极值的必要条件

如果可导，取得极值，则导数为0

将所有导数为0的点称作驻点

因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点

所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点

因为驻点是极值是必要条件所以

定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）

如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；

则该点为极值点

定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）

驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点

如果二阶<0为极大值

如果二阶>0为极小值

函数的最大最小值

找连续函数的最值

第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）

第二步：然后比较他们和端点的函数值

如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小

如果是应用题，需要建立目标函数

曲线的凹凸性

二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的

一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性

拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示

极值点可以是x轴上的点,x=具体的数

如何判定是否是拐点

极值点一个必要两个充分对应

曲线的渐近线

1）水平渐近线：最多两条

2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为0

3）斜渐近线：

函数作图

确定定义域

求一阶导数

求二阶导数

求渐近线

曲线的弧微分与曲率

曲率：K = |y’’|/(1+y’2)(3/2)

曲率半径：R = 1/K

基本题型

函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点

求渐近线

求方程的根

不等式证明

中值定理以及证明题

一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点

极值只可能是导数为0或者导数不存在的点

如何判断：

左右导数是否变号

二阶导数是否!=0

导数不存在且为极值的条件是该点必须连续

有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可

二、渐近线

斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小

三、方程的根

通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根

题型：

方程根的存在性：

零点函数定理，左右端点异号

罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0

根的个数：

单调性：这样就能确定只有一个

罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点

四、不等式的证明

单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解

拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子

最大最小值定理：最小值大于0

两个重要结论

sinx < x < tanx

x/(1+x) < In(1+x) < x

(采用中值定理证明)

五、中值定理的证明题

习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0