中考几何压轴 动点轨迹与最值 002

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题84. 《瓜豆原理·圆型》

如图，△ABC为等边三角形，D是AC中点。DE＝√3，EA＝4，则BE最大值是（）。

〖一般性提点〗

[1]. 题没有难度，就当复习圆型瓜豆原理的要点；

[2]. 点的属性

未明点的属性情况下，选择适当的点作为定点；

[3]. 在选择/填空题，除非必要，不必画出题解图，要善于抽象空间思维，节省时间；

[4].圆型瓜豆原理要点，得铭记于心。

〖题目解析〗

依题设，或选择A、E为定点；或选择D、E为定点；都可以。

[1] 选择A、E为定点

则认定D、B、C为动点。此时：

<1>. D点轨迹是：以E为圆心，DE为半径的圆；

<2>.定点A、动点D、B构成圆型瓜豆系统：

☆D为主动点；B为从动点；

☆夹角：AB（从动）逆时针到AD（主动）夹角α＝60°；

☆相似比：λ＝AB（从动）/AD（主动）＝2；

☆动点B的轨迹也是圆，设其圆心为G（定点），则：

半径R(BG、从动)＝λ·R(DE、主动)＝2√3；

☆AG（G：从动圆心）逆时针到AE（E:主动圆心）的夹角＝α；

AG＝λ·AE＝8；

△ADE为动三角形，△DAE∽△BAG；

△AGE为定三角形，且△AGE∽Rt.△ABD；

EG＝√(AG²－AE²)＝4√3；

☆当E、G、B按序共线时，BE 取得最大值：max(BE)＝BG＋EG＝6√3

附题解图参考：

[3] 选择D、E为定点

则认定A、B、C为动点。此时：

<1>. A点轨迹是：以E为圆心，AE为半径的圆；

<2>.定点D、动点A、B构成圆型瓜豆系统：

☆A为主动点；B为从动点；

☆夹角：BD（从动）顺时针到AD（主动）夹角α＝90°；

☆相似比：λ＝BD（从动）/AD（主动）＝√3；

☆动点B的轨迹也是圆，设其圆心为G（定点），则：

半径R(BG、从动)＝λ·R(AE、主动)＝4√3；

☆DG（G：从动圆心）顺时针到DE（E:主动圆心）的夹角＝α＝90°；

DG＝λ·DE＝3；

△ADE为动三角形，△ADE∽△BDG；

△GED为定三角形，且△GED∽Rt.△ABD；

EG＝√(DG²＋DE²)＝2√3；

☆当E、G、B按序共线时，BE 取得最大值：max(BE)＝BG＋EG＝6√3

附题解图参考：