在直面标题中的问题之前，先思考一个问题，什么是记数？

很简单，就是用某种符号把数量记下来嘛。它所涉及的一套规则叫记数系统（numeral system），也称为记数法。

比如，用A代表第一个数，往后每增加一个，就依次用B，C，······，Z代表，若继续增加，那就用AA，AB，AC，······，ZZ，AAA等等来代表了。用过Excel表的人都知道，它的列编号所采用的就是这种记数法。

再比如计算机中采用的二进制（binary），用0代表无，用1代表第一个数，往后每增加一个，就依次用10，11，100，101，110等代表。

而最通行的所谓“十进制”，英文名decimalism， 它的做法是：

用0代表无，用1代表第一个数，往后每增加一个依次用2，3，······，9代表，接下来若继续增加，那就依次是10，11，12，······这些。

被称作“N进制”的记数法还有很多，例如三进制（ternary），八进制（octal），十六进制（hexadecimal）等。实际上，任何非零整数进制都存在，当然包括一进制，它叫unary numeral system。

先声明下，“进制”这个说法是中文特有的，强调记数中“逢N进1”的规则，但实际上这并不是记数法本身的要求。关于这一点，本文后面会讲到。

现在我们先来看，这些记数法背后有什么共同的道理呢？

为了搞清楚这个问题，我们不妨从人类最简单的记数法讲起。

想象你穿越到10万年前，假设那时的你幸运的还是一个人，你现在负责记录你们部落猎物的数量，你该怎么做呢？

原始人用棍棒记数

没错，用棍棒来记数！一根棍棒代表一个猎物，每增加一个猎物就增加一根棍棒。但这样工作量太大，如果打的猎物太多，棍棒不够用了，怎么办？

“奈何姓万”的故事

聪明的你马上想到：能不能用有限的棍棒来表示任意数呢？

没错，你这灵光一闪，就代表人类开始思考抽象的记数问题了！

棍棒，或各种兽骨等物件，有各种不同的形状，若将它们看作一个个不同符号，那么，有限个不同形状的物件就构成了一个有限符号集。从这里面取出任意个符号（可重复），它们的每个排列就代表一个数。

原始人的记数工具

可是，问题来了，这些符号的排列表示数的规则是什么呢？

这就是记数的核心问题了 ！

为了更清晰地阐述，我们先明确三个概念。

第一个概念，用来记数的符号——数字（digit），也叫数位符。不仅包括阿拉伯数字，各种字母也可用作数字，常见的如英文大写字母。要注意区分数字与数，数（number）由数字排列而成，例如“101”和“AA”都是数，单个数字本身也是一个数。

第二个概念，数位符构成的集合，我们称之为数位集（digit set）。例如前面提到的第一种记数，它的数位集是26个大写英文字母的集合。二进制的数位集是{0,1,2}，十进制的数位集是{0,1,2,3,···,9}。

第三个概念，数字符号与整数值之间的对应关系，叫整数数值函数，用 表示，它的定义域是数位集，而它的值域是整数。

需要指出的是，这里的“整数”二字是形式上的、与具体的记数法无关的整数。就像本文前面提到的三种记数时说的那样，它是指按“从第一个数开始，每增加一个就加一”的规则来计数（counting）时，所得到的那个抽象的整数。

讲到这里，也要顺便说下，计数与记数是不同的。计数是一种重复增一或减一的行为，它对应的结果是存在于大脑中天然抽象数值；而记数则是数的某种记录方式，是表示数的符号系统给出的结果。

当然，在实际中，这个所谓的“抽象整数”一般总是用我们熟悉的十进制来兑现表示的，毕竟抽象的数只存在于大脑中，无法直接表示出来嘛！

对于前面提到的Excel表的列记数中，函数 是全部英文大写字母与等量个整数之间的一一映射。例如 。

而对一般的“N进制”记数法来说，若数字的值就是它作为一个数（number）时的值，则 是一个恒等函数（identity function），因此可用字符 直接替代 ，例如二进制，八进制，十进制都是如此。

但N超过10的“N进制”，其数位集包含一些其他字符，例如十六进制的数位集为{0,1,2,3,···,9,A,B,C,D,E,F}，故十六进制的数值函数为

三个概念讲完了，现在来看，用数位符怎么表示数？

若干个数位符（可重复）的一个排列就表示一个数，我们称之为记数（numeration）。一个排列中有几个数位符，则这个数就是几位数。

一个简单的例子，十进制下的数字串“2045”代表的数值（value）为

若这个数字串是八进制的话，那它的值为 算出来就是1061。

显然，这里的值是用十进制表示的，既然数值应该是与任何记数法无关的抽象计数结果，这并不是必须的。但十进制是所有人最熟悉的记数表示，所以就用十进制了。后面凡说到数值，也都默认用十进制表示。

根据这两个例子，相信读者能看出，某种b进制记数法下的一个字符排列 代表一个整数，其值为 如果引入小数点到字符排列中，则上述记数法可推广到小数，例如b进制下 代表的数值为 例如，8进制下的0.124的值为 这种数的表示具有递归（recursion）的特点，以整数为例即

据此递归性质，当一个数的首位是0时，由于 ，这表明 因此数最左边的0是多余的。考虑到这一点，有些人习惯在记录整数位只是单个零的小数时，可忽略那个零，例如将“0.123”直接写作“.123”。

上式还透露一个有趣的事实是，对0这个数，按上述规则，它自身也可以被拿掉，这就导致 右边是空的？没错！这正是0的意义——它代表什么也没有。

好了，以上就是最常见的记数法的规则。

我们看到，N进制数位集中并不包含数N对应的字符，例如二进制中没有2，三进制中没有3，八进制中没有8。所以，若把二进制说成2进制，把八进制说成8进制，就不够严谨了。

其实，英语对此也是不失严谨的，各个“N进制”的名称中都避免出现对应的数字，例如二进制叫binary，八进制叫octal，等等。

N进制中对应的N的那个数，因为已经超出数位集本身的范围，需要用1和0的排列来表示。

二进制中的10代表数位符1和0的一个排列，它读作“one zero”或“一零”，八进制中也如此，而十进制中的10也一样是如此！

也就是说，“10”一定不是“十”的对应的数位符——数位符必须是单个字符嘛！它的真实身份是字符集中的1和0的一个排列，应读作“一零”，而非“十”。

你可能会说：“10”在其他进制中的确不是“十”，但在十进制中不正好就是“十”吗？既然如此，那读作“十”不正好吗？

对大多数人来说，这么做的确无可厚非。

但是你知道，“十”既然是一个汉语的单音节语素，它应该对应单个字符，将其对应一个数字的排列“10”是不太妥当的。

你可能会问：按你这说的，十进制下的“20”读作“二十”不可以，应读作“二零”？

那倒不是这样，在十进制下，“20”的数值的确就是“二十”，而且因为它有两个音节，不会被误以为是一个数位符，所以这么读是完全没问题的。

其实十进制下的“10”，你若读作“一十”，那比读作“十”更合适。

这么说吧，面对一个由数位符排列形成的数，你可以有两种读法。

第一种是当字符复读机，直接念数位符。例如，“1020”就读“一零二零”，管它是什么进制的数，反正总不会错。虽然这么做有点机器般的冷酷感觉，但这也许是大多数搞计算机的人最惬意的读法。

第二种是按照具体的进制，准确地读出它作为一个抽象天然数所具有的真实值。例如十进制下，“10”读作“十”，八进制下的“10”读作“八”。

第二种方法虽然美丽，但当你面对一个非十进制的数时，习惯十进制的你，需要快速的读出它的值可不那么容易哦！

即使是熟悉的十进制，面对一长串数字，坦白讲，笔者有时也会读错。更别说听写英语数了，要是一个个念字符就好了。

这个你可能用得着

实际上，第二种方法不再是单纯记数了，而是计数——给出天然抽象数的真实值。在前面提到的记数系统中的整数数值函数就是干这件事，但好在它只需要干很少次——数位集的长度对应的次数。

显然，对一个懒惰的码农来说，他当然会毫不犹豫地选择第一种方案。

我很懒，但我的代码可靠！

当然，若你觉得没必要纠结这些细节，也没关系，因为在你坚持把“10”读作“十”时，应该不会有人和你抬杠的。

至此，关于“N进制”记数法，我们讲完了。

但大家有没有意识到，我们熟知的“逢N进1”的规则似乎被忽略了？

的确，但本就该如此！

因为“逢N进1”这件事是当你计数（不是记数）时，为了得到正确的记数，你需要做的事，它与记数规则本身没什么关系。

前面说过，所谓计数，简单的说，就是在数数时不断加一减一。

对N进制的数来说，当对末位数字是N-1的数加1时，末位要变成0，而倒数第二位则要增1，这就是末位的进位；若倒数第二位增1之前也是N-1，则同样也要进位，直到抵达某个小于N-1的数字，进位停止。

虽然常见的记数法都满足这个规律，但若看Excel表中列的记数法，因为它的数位集中不含0，所以它并不是按这种“逢N进1”的规则来记数的，例如Z后面是AA而非A0，这是怎么回事呢？

这个问题涉及另一种类型的记数法，叫做双射（bijective）记数法。而我们常见的十进制属于标准（standard）记数法，除此之外，还有一种叫平衡（balanced）记数法。

在弄懂这些不同类型的记数法之后，你一定会对记数问题有更深入的理解，例如你会理解“一进制”为什么是可以存在的，并能理解各种奇异的记数法存在的合理性，包括负二进制，Π进制，2i进制等等。

同时，你还会发现，“逢N进1”并不是记数法本身要求的。

虽然所有记数法的英文名称中并无“进位”之义，但在中文里，所有记数法的名称都具有“x进制”的形式，个中缘由，笔者没有细究。

好了，关于记数法，就先讲到这里吧。

参考文献

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来源：物含妙理

编辑：花卷