幂函数是我们中学阶段接触最早的函数之一，函数这个概念的引入，都是通过幂函数进行的。比如下面这两个函数我们很熟悉：

我们在初中里称它们为一次函数和二次函数，而且都是最简单的那种，通过这两个家伙，初中数学好歹引入了函数的概念，终于让中学数学进入了变量时代。

其实这俩货都是幂函数的一种。

我们来看幂函数的定义：

首先必须注意的自变量前面的系数只能是1，如果是其它系数就不能称为幂函数。

指数a的取值是任取的，也就是可以在整个实数范围内取值，所以，所有满足上式型式的函数都称为幂函数，不过，我们在中学里主要研究以下五种，分别是：

但实际上，我们在练习中，还常常可以见到以下几种扩展函数：

既然研究函数，就必须研究它们的三大要素和五大性质，以及它们自己在图像上的特有表现。

为了方便研究上述几个函数的共同特点，我们可以尝试先把这几个函数的图像画出来。

常见幂函数的图像

有了这几个函数的图像，研究这些函数就显得直观多了。

1、首先说定义域。对于幂函数而言，函数的定义域取决于指数的取值。

当指数a<0时，x就不能取0；

当指数a=0时，x也不能取0。

当指数a为实数的偶次根时，比如a=1/2，x不能小于0

但它们也有一个共同的特点，那就是在正实数范围内，都是有定义的，区别只是在于定义域是否能扩展到0和负数。

2、值域：所有奇函数的值域都是全体实数R

偶函数的值域需要做些划分：

指数a<0的偶函数值域为大于0的实数；

指数a=0时是常数函数1，值域为1；

指数大于零的偶函数值域为不小于0的实数。

3、有了图像研究这些函数的性质更简单。

首先是单调性。在定义域内，单调增的有：

单调减的是这个:

有增有减的是这俩货，这两个增减的方式还不一样

奇偶性就不用说了，看图就行。

周期性都不存在，至于对称性，看它们几个的奇偶性就行。

4、函数的凹凸性必须说道说道（为了方便说明，我们以函数在第一象限的表现为例，其它象限，你可以根据函数的奇偶性对称过去即可）：在第一象限内，

指数在0和1之间的函数，在第一象限的图像都是向上凸起的，是凸函数没跑了（凹凸的定义国内国外两套体系，这里采用国内的象形定义，向上凸起的称为凸函数）；

指数大于1的，在第一象限都是凹函数。

等于1的是一条直线。

5、根据图像，所有幂函数都通过（1，1）这个点。奇函数还要通过（-1，-1）这个点。

6、所谓幂函数就是求一个变量的幂的运算，所以幂函数的一个用途就是比较大小，这在习题中常常出现：

如果指数相同，根据幂函数的单调性，可以非常简单的比较函数值的大小。

但如果自变量相同，指数不同呢？可以方便通过画一条直线来比较大小，如图：

在x>1的区间内，比如画出x=1.5这条线，就可以很轻松的比较此时各个函数的大小。

同样，在0<x<1的区间内，你同样也可以画出一条线，比较各个函数值的大小。

但最常考的比较大小的题目，却有可能是自变量不同，指数也不同的两个幂函数，此时，我们就必须找到一个合适的中间量，通过将需要比大小的两个函数值和中间量相比就可以解决这种难题。

通过一条竖线可以很容易比较函数值大小

7、我们知道幂函数的指数取值是全体实数，根据这个定义，下面这货也是幂函数

但它的图像却很有喜感，如果大家乐意，可以自行搜索它的图像看看，反正中学不要求掌握，我们瞧个乐就好。

当然，我们中学学的幂函数只是皮毛中的一根毛而已，要想看到幂函数的全貌，还得知道这种函数是怎么来的，以下是网上发现的幂函数在各个历史时期的发展简史，那些大名鼎鼎的数学家都有参与幂函数的成长和发展，有兴趣的可以参看：

幂函数的历史可以追溯到16世纪初，当时数学家们开始研究函数的幂级数展开。其中最早的发现是关于三角函数的幂级数展开，由法国数学家韦达（Viete）在1589年发现。

在17世纪，幂函数开始被更广泛地研究。法国数学家费马（Fermat）在1629年提出了一种方法，可以用任意实数作为指数，得到任意幂次的幂函数展开式。

这一方法被称为“费马幂级数”（Fermat's power series）。

在18世纪，幂函数被广泛应用于数学和物理领域。

瑞士数学家欧拉（Euler）在1740年左右提出了著名的欧拉公式，它将三角函数与复数相关联，从而使得幂函数在复数范围内得到了广泛的应用。

到了19世纪，幂函数得到了更深入的研究和发展。德国数学家黎曼（Riemann）在1850年左右提出了一种新的数学理论，被称为“复分析”（complex analysis），这个理论使得幂函数在复数分析中得到了广泛的应用。同时，幂函数也在数学分析中被广泛应用，如泰勒级数和傅里叶级数等展开式中都有幂函数的身影。

在现代数学中，幂函数仍然是研究的热点之一。它们在数学分析、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。例如，在概率论中，二项分布和泊松分布等分布函数都是幂函数的离散形式。而在统计学中，一些常见的分布函数，如正态分布和卡方分布等也涉及到幂函数。此外，幂函数也在代数、几何等领域中有广泛的应用，如矩阵代数、群论等领域中都有涉及幂函数的运算。

总之，幂函数作为一种基本的数学函数，其历史可以追溯到16世纪初，并在不同领域中有广泛的应用。它的性质和理论仍在不断发展和完善，为数学和科学的发展做出了重要的贡献。

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