@所见所得，都很科学

概述

在前面分享的文章，比较详细地学习了线性连续系统的n阶常系数微分方程，以及相应的经典解、自由响应、强迫响应、零输入响应和零状态响应等知识点的学习，当然还存在一些讨论模糊的地方。

而事实上，在数字信息处理中，我们经常需要处理的信息都是时间域离散的信息样点，因此就需要建立离散系统加以处理，才能获得更佳的结果。

对于离散系统，通常以差分方程的形式来描述其输入与输出的关系。这里，特别说明一下，即在接下来的讨论中，系统都是单输入输出的离散系统。

在这篇文章中，我将举例说明，差分方程如何建立。

通过系统微分方程推导差分方程

其实，很多时候，连续微积分在我们初学的时候，是借助差分的概念而获得的，比如当初上小学的时候，是如何推导圆的面积的？就是说先等分，然后再相加，当然这是积分，微分的话反过来了。而上高中，上大学之后，通过极限的概念，但基本思想都一样。

这里依旧以之前文章中提到的下面的微分方程的例子说明。

这里我们以二阶微分方程为

某系统二阶微分方程

我们假定将时间等分为Ts（也就是后面我会提到的信号采样间隔，或者说采样率），那么就有

t = nTs，n = 1, 2, …

那么一阶微分的差分形式就是

一阶微分的差分形式

二阶微分的差分形式就是

二阶微分的差分形式

其他阶次依次可以推导出来，这里不再推导。

通常，信号离散采样中，第n个样点和nTs时刻的样点是等价的概念，因此，上面两个式子可以简写为下列形式。

简写后的向前差分形式

当然，这里有个向前差分和向后差分的区别，上面是向前差分，那么向后差分的形式如下

简写后向后差分形式

把简写后的式子带入到文章开头举的例子中，进一步推导该系统所满足的差分方程如下

例子中系统满足的差分方程

进一步简化，可以写成

例子中差分方程简化形式

最后

今天就分享到这里，总结起来，就是如何为系统建立差分方程，这里主要演示了通过连续系统的微分方程，来建立差分方程。当然，有些系统是可以通过分析系统主要形式，直接建立差分方程的，典型的应用就是电路问题，通常可以通过基尔霍夫电流定律，直接推导出系统的差分方程。

衷心感谢读完此文，愿给你带来收获。

最后，文中有错误的地方，请留言斧正。

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