上帝创造了整数

其他一切都是人造的

我们首先提出两个问题：

1）为什么负负得正（-（-1）= +1）？

2）为什么（-1）× （-1）= 1？

把这些看似简单的问题抛给学生家长，他们会感到愕然，好像天经地义，负是反过来，再反一次不就是正了吗！

这种形象的理解没有错，尽可以放心使用。但不了解“反”的真正含义，就不能令人信服。（有人心里在窃笑，你在钻牛角尖！我从小到大都懂的道理还用再啰嗦？）

其实，引入包括负数和分数的四则运算，已经超出日常的经验。历史上人们并非一朝一夕就接受和掌握，直到17世纪它们的合法性还没有得到普遍承认！

对第二个问题的回答其实并不简单。初中数学教科书不能够逃避这个问题，看看那上面是怎么解释的吧。

很自然地，在讲解负数加减运算规则时，引入数轴的概念，用数轴上的点表示数，原点表示0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数。

在进行数的运算时，可用数轴上带方向的线段来表示一个数，线段的长度代表数的大小，线段方向指向右代表一个正数，线段方向指向左表示一个负数。

这是通常的直观方法。既然正负与方向联系在一起，负负得正就容易理解了。

但是，要解释负数乘负数等于正数，这样还无济于事。

有些教科书的做法，是在方向正反的基础上再添加时间前后的解释：把以后时间的位置用正数表示，以前时间的位置用负数表示。

挖空心思地设想一种特定的情景，企图用以说明负数乘负数的结果是正数，其结果只能是自己糊涂让学生更糊涂。

实际上，负数乘负数等于正数是运算规则约定的结果：只有这样定义，有理数的运算才能承袭全部自然数的运算法则，彼此相容地给出一致的、合乎逻辑的结果。

我们下面就从头（起点！）来梳理这个线索。

自然数是数学的出发点和逻辑基础。对自然数的研究到现在也没有结束。

自然数是由1，2，3…组成的无穷多个数，其中的每一个数都等于它前面的数加1，它后面的数等于它再加1。

对自然数先定义加法运算，在加法的基础上再定义乘法运算为：任一自然数a与1相乘及与自然数（b+1）相乘的结果分别为：

a×1=a

a×(b+1)=a×b + a

加法与乘法的运算规则表现为5个公理：加法的结合律、交换律，乘法的结合律、交换律，以及加乘的分配律。

用字母a,b,c,…作为表示自然数的符号，这5个公理依次是：

a + (b + c) = (a+ b) + c

a + b = b + a

(ab)c = a(bc)

ab= ba

a(b + c) = ab +ac

这些规律作为公理而存在，它们体现了人们对于自然数的直观认识。数学家Kronecker（克罗内克）把这种状况表述为“上帝创造了整数，其他一切都是人造的。”

德国数学家克罗内克

从自然数出发扩展到有理数（包括正整数、0、分数及负数），数学向前跨进了一大步。

减法定义为加法的逆运算：若a+ b = c，则 b = c – a。

但是，只有当c比a大时，才有唯一的自然数b存在。若要对任何两个自然数都可执行减法，我们必须引进0和负数。

0的定义：任何数a加0仍等于a，a + 0 = a. 于是，a - a = 0.

负数的定义：考虑在b比a小的条件下，定义b - a =-(a - b)是一个负数。

负数可以看作正数的相反数，也可以说，正数和负数是一对相反数，其意义是二者之和为0：(a-b) + (-(a-b)) = a-b+b-a = 0。在正数前面加负号 - ，表示负数。

更一般地, 可用负号定义相反数：在一个数a（无论正负）前面加负号 - a，表示a的相反数，即满足

a +（-a）= 0

(负号作为数前面的符号，用圆括号把它与数结合在一起，以免与减法算符相混淆。)

从负数定义出发，立得第一个结果：

a + （-b）= a - b + b + (-b) = a - b

也就是说，加上一个负数，等同于减去一个正数。

从负数定义还可推出第二个结果：“负负得正”！

请看，由于（-a）是一个数，它的相反数为-(-a)，故 -(-a) + （-a）= 0，等式两边同时加a，得出-(-a) = a.

从负数定义可以如下所示推出第三个结果a - (-b) = a + b：

由于b + (- b) = 0，以及 （-b）- (-b) = 0，故a - (-b) = a + b +(-b) - (-b) = a + b。

也就是说，减去一个负数，等同于加上一个正数。减号和负号的形状与作用都一样，结果也是“负负得正”！

总之，我们不必在意数a和b是正数或负数，可以归纳为：一个数加上另一个数等于减去后一个数的相反数。

我们从现在开始就强调，自然数的全部运算法则（公理）都由有理数和实数继承下来！

正是因为有了运算法则的相容性，我们从来不必关心参与运算的数是自然数，有理数，还是实数。

应用上面的说明，我们不难给出任何两个数（正数或负数）的加、减运算结果。例如：（-a）+ （-a）= -（2a）。

自然数的乘法可以作为加法的简便表示，一开始假定：a ×1 = 1 ×a = a，以及a × 0 = 0。

然后，任意两个自然a与b相乘，可根据乘与加的分配律依次得到。

接着，讨论负数的乘法，由于 a+（-a）+ a +（-a）=0，得（-a）+（-a）=-（2a）

即2×（-a）=-（2a）。 一般，（-a）× b = -（ab）

同理，可得a × （-b）= -（ab）

但是，（-a）×（-b）= ？ 甚至更简单情形，（-1）×（-1）= ？

数学家经过很长一段时间才认识到（-1）×（-1）= 1是不能被证明的（即使大数学家欧拉曾给出不能令人信服的一个“证明”！），它只是一个合适的约定，以定义的方式给定。因为只有这样约定，乘加分配律才能对于负数同样成立。

请看，若将乘加分配律用于下式：

0 =（-1）× （1 + （-1））= （-1）×1 + （-1）× （-1）

就必须有：

（-1）×（-1）= 1

接着，进入到分数的定义。

任一分数可用一对自然数m和n表示为

。

分数最初是作为自然数乘法的逆运算而定义的：若n·p = m，则m÷n = p，记为

，只有当m是n的整数倍时，p才是自然数。

对任何自然数m，n定义

，使数的范围从自然数扩展到全部正有理数。

可以依照自然数除法的性质，如下定义正有理数的加法，乘法，以及两个有理数相等：

对任意自然数a, b,c, d

很容易验证，在

和

都是自然数时，上面的定义给出正确的结果，而且，上面的定义使正有理数的加法、乘法运算满足结合律与交换律，乘加运算满足分配律。

根据负数的定义，可以定义负有理数。很容易验证，对任何正、负整数a, b, c, d, 有理数

和

的加法、乘法和相等都采用上述的定义，全部有理数（整数和分数，正数和负数）的加法、乘法运算满足结合律与交换律，乘加运算满足分配律。

总而言之，在全部有理数的范围内，可以应用同样的自然数的运算法则，进行加减乘除的四则运算，得到唯一确定的、在有理数范围内的结果。

本文作者：吴新瞻

应用数学与计算机应用高级工程师，编审；

1957一1963北京大学数学力学系数学专业毕业；

1963一1967中国科学院计算技术研究所概率统计计算专业研究生毕业；

长期从事数学应用研究与计算机应用软件开发工作；

曾担任中国大百科全书《电子学与计算机》卷特约编辑与撰稿人，《今日电子》执行主编；

发表论文十余篇，编著出版《随机模型与计算机模拟》一书，译书若干种。