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数学经典:数学家柯西是如何证明算术-几何均值不等式的

风中摇曳 5635

前言:

如今你们对“算术平均不等式的证明”都比较看重,小伙伴们都需要剖析一些“算术平均不等式的证明”的相关文章。那么小编也在网上收集了一些有关“算术平均不等式的证明””的相关文章,希望咱们能喜欢,兄弟们一起来学习一下吧!

如果存在n个正数A,B,C,D,E……,那么就存在如下不等式

这就是著名的算术-几何不等式,又称作AG不等式,它在数学中非常重要,应用也很广泛,所以大家都应该很了解它

关于这个不等式的证明有很多,但最早给出严格证明的是大数学家柯西,柯西的证明至今仍被称作经典之作,下面就让我们来欣赏

首先N=2的情况,存在如下形式,一目了然

按照上述原理让我们依次让N=4,就会得到如形式

接着让N=8时的情况,

N=2^m时,就会得到如下非常巧妙的不等式

这里的N都是等比为2的几何级数:2,4,6,8,16,32………等等

在此假设如果n不是几何级数,最接近n的最小的数是2^m,且r=2^m-n,接着令

那么在n个正数A,B,C,D,E……和r个K的情况下,就会存在如下不等式,且等式右边等于K^2m

上述等式看上去比较困惑,但非常容易理解,数学技巧也非常巧妙

然后我们整理下这个不等式,就得到了著名的算术-几何不等式

例如:

上述的方法记载在柯西的名著《分析》一书中,证明技巧非常巧妙。

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