韩启超 赵启林

南京工业大学 南京 211816

摘 要：针对复合材料具有可设计性以及经典差分进化算法自身的缺陷，提出一种改进的差分进化算法对复合材料层合板进行以铺层角为设计变量、蔡- 吴（Tsai-Wu）强度准则为约束条件、层合板强度最大为目标函数的优化设计。考虑差分进化算法在寻优过程中个体间差异越来越小，采用随机选择突变策略和增加扰动机制的方法，增大个体间差异，避免算法陷入局部最优解。通过数值算例和工程算例验证了改进的差分进化算具有较好的全局收敛性。

关键词：复合材料层合板；改进差分进化算法；优化；全局最优

中图分类号：TB332 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）01-0093-04

0 引言

复合材料为新型材料，其强度高，刚度大，质量轻且具有可设计性，在航空航天、机械、船舶、建筑等工程领域得到广泛应用[1]。各向异性作为复合材料的突出特点，导致复合材料优化设计中设计变量种类很多。传统的优化设计方法大多基于数学梯度信息，要求设计变量是连续的；初始点的选择也对优化结果影响很大。故传统算法具有一定的局限性。

差分进化算法（Differential Evolution, 以下简称DE）性能优越，其在国际进化算法大赛中多次获得较好名次[2]。作为一种进化类算法，DE 算法同样存在缺陷，如在寻优过程中易出现陷入局部最优点，个体出现早熟现象等[3]。本文对算法进行改进。

1）突变策略改进

初始群体中的每个成员被随机分配一个突变策略和相关参数值，群体成员（目标载体）使用指定的突变策略和参数值产生后代（试验载体）。如果生成的试验向量优于目标向量，则用试验载体保留突变策略和参数值，试验载体成为下一代亲本（目标载体）。如果目标载体优于试验载体，则用新突变策略和对应的相关参数值随机重新初始化目标载体。通过对突变策略和后代中相关控制参数的更好组合可使后代产生的可能性增加。采用的突变模式为 [4]

式中：Gauss(0,1) 为随机产生的高斯序列，F0 为初始变异率，Fmin、Fmax 取值范围一般为0.4 ～ 0.95。

2）人为增加扰动向量

差分进化算法在迭代到一定次数时随机选取种群中的个体进行操作，有

式中：Halton(0,1) 为产生的Halton 随机序列。改进的差分进化算法可克服易陷入局部最优解的缺陷。对复合材料层合板的优化分析表明，改进的算法可进一步优化复合材料层合板的力学性能。

1 改进的差分进化算法

1.1 算法流程

差分进化算法是一种模拟自然界生物进化的智能算法，通过基于向量差分形式的变异操作和基于概率选择的交叉操作进行个体进化迭代。

1）初始化种群

通过随机数生成器产生一定大小的初始种群，表达式为

式中：rand 表示随机生成一个[0,1] 之间的数，aj、bj (j=1,2,…,D) 表示第j 个变量的最小边界和最大边界。

2）突变策略和控制参数

初始群体中的每个成员被随机分配一个突变策略和相关参数值。

3）变异操作

采用差分策略实现变异，一种常见的差分变异的实施方法是：从目标种群中随机选取两个不同的个体，将这两个个体对应的向量进行差分缩放，随后选择当前种群中的最优个体和第三个个体进行差分缩放，最后进行向量相加，形成新的个体即变异个体。表达式为

式中：F 为缩放因子，xi,g 表示第g 代种群中的第i个个体，xbest,g 表示当前种群中的最优个体。本文的缩放因子F 在每一代都会自动更新，生成方式为

值得注意的是，在执行完变异操作后，需要对解的有效性进行验证，有必要判断“染色体”中每个“基因”是否满足边界状态。对于不满足条件的“基因”，可以采用生成初始种群的方法，即通过随机数生成器重新生成。

4）交叉操作

交叉操作的作用是交换目标个体和交叉个体的信息，生成新的个体即试验个体，试验个体同时保留目标个体和变异个体的信息。以个体的每个元素作为对象分别产生一个随机数，根据产生的随机数决定实验向量的对应元素来自目标向量还是变异向量。表达式为

式中：CR 为交叉概率，jrand 为[1, 2, ... , D] 的随机整数。

5）选择操作

采用父代个体和中间个体一对一的贪婪选择策略，有助于提高算法的多样性，根据当前种群和试验种群中对应个体的适应度决定进化到下一代的个体，表达式为

同时，试验载体和目标载体竞争优胜者的突变策略和相关参数值被保留，进行下一次迭代。

6）扰动操作

作为基于遗传机制建立起来的新的优化算法，不可避免地存在一些缺陷，具体表现为伴随着进化的进行，种群中个体的多样性越来越差，收敛速度越来越慢，有可能导致算法陷入局部最优解。故有必要在迭代后期增加扰动，增强个体多样性，表达式为

式中：Halton(0,1) 为产生的Halton 随机序列。

1.2 算法试验

为分析改进后算法的寻优能力，进行二维Shubert测试函数（见图1）试验，测试函数为

图1 二维Shubert 函数图像

该函数是一个典型的非线性多模态函数，在其可行域内存在多个局部最优点，很难找到全局最优解。设种群大小为20，最大进化代数为40，变异率为0.5，交叉率为0.9。分别采用标准差分进化算法和改进差分进化算法求解，结果对比见图2。

图2 寻优对比

可以看出，改进后的差分算法较标准算法性能更加优越，在较短的迭代周期内即可找到全局最优解。

2 优化设计问题描述

复合材料层合板结构如图3 所示。

图3 层合板结构示意图

图中，n 为铺层个数，t 为铺层厚度，θ 为铺层角。复合材料层合板优化设计中，需要注意：

1）适应度函数

适应度函数按照蔡- 吴（Tsai-Wu）张量理论，采用最先一层失效强度对复合材料层合板进行优化设计[5]。蔡- 吴（Tsai-Wu）张量理论的强度比方程为

式中： Fxx、Fx、Fyy、Fy、Fss、Fxy 均为强度参数，Xt 为纵向拉伸强度，Xc 为纵向压缩强度，Xt 为横向拉伸强度，Yc 为横向压缩强度，S 为平面剪切强度，σx 为纵向应力，σy 横向应力，σy 剪切应力，R 为强度比。求解得到各层强度比，最小单层的强度比R(i) 即为最先失效层，可以继续加载的许用应力倍数R(i)-1 为适应度函数[6]，适应度函数为

F(i )=min(R(i)-1) i=1,2,...,n

2）目标函数

G( j )=max(F(i )) i=1,2,...,m

3）设计变量

在复合材料层合板优化问题中，变量为铺层角，记为θ(i)，其中i 表示层合板第i 个铺层角度，θ 表示含有n 个铺层角度的序列。

4）染色体编码

在复合材料层合板的铺层设计中, 其纤维铺设角度的离散值为0°、±45°、90°[7]。

3 优化算例

某复合材料板力学参数见表1，几何参数为长度0.6 m、宽度0.4 m，厚度1.25×10-6 m，层数16。该层合板四边简支约束，承受90°纤维方向拉伸载荷以及0°纤维方向拉伸载荷均为400 kN。分别用基本差分进化算法和改进差分进化算法进行优化设计。

改进差分进化算法优化结果如表2 所示。由于层合板具有对称性，故表2 中只包含一半的铺层角度。分析优化结果可知，外载荷会对层合板附加较大的剪切力，故增加±45°的铺层。优化过程中适应度值从0.350 1提高到0.648 5，可知该层合板的强度有一定的提升。

图4 为经典差分进化算法和改进差分进化算法的寻优能力对比。可知，经典差分进化算法在进化到20 代陷入了局部最优解，目标函数值不再发生变化。而改进差分进化算法突变策略和相关控制参数随着迭代进行动态调整，且增加了扰动个体，进而增加了种群的多样性，故可找到全局最优点，显示了改进算法的优越性。

(a) 经典差分进化算法

（b）改进差分进化算法

图4 算法寻优能力对比

4 结论

采用改进的差分进化算法开展以层合板强度最大化为目标的优化工作，为克服差分进化算法易陷入局部最优解的缺陷，优化复合材料层合板力学性能指标，提出一种改进方法。通过动态调整控制参数和在选择操作后增加扰动机制，可提高个体差异性，避免经典差分进化算法在迭代求解时陷入局部最优解。通过数值算例和工程算例证明改进的差分进化算法更易于找到全局最优解，改进的差分进化算法将层合板的强度提升了18%。

参考文献

[1] 沈观林, 胡更开. 复合材料力学[M]. 北京：清华大学出版社, 2006.

[2] Storn R,Price K.Dfferential evolution-a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous space [J]. Technical Report, 1995(18): 22-25.

[3] 蔡亮. 差分进化算法及其应用研究[D]. 南京：海河大学，2008.

[4] Zhang J , Member S , IEEE, et al. JADE: Adaptive differential evolution with optional external archive[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2009, 13(5):945-958.

[5] 王力. 模拟退火算法在结构拓扑优化和复合材料铺层优化中的应用[D]. 大连：大连理工大学, 2008.

[6] 黄伟, 孙首群. 基于改进自适应遗传算法的层合板铺层设计[J]. 机械工程与自动化, 2015(2):135，136.

[7] 唐文艳, 顾元宪, 赵国忠. 复合材料层合板铺层顺序优化遗传算法[J]. 大连理工大学学报, 2004, 44(2):186-189.