预备知识:链复形及其同调的定义，长正合列，导出函子的概念。

1.Cartan-Eilenberg 系 。在平面直角坐标系x≤y所定义的区域中，每一个整数格点(p, q),均对应一个模H(p,q),这里p和q包含±∞。我们不妨把这些模嵌入这些格点上。在这些模之间有两种类型的同态:(1)任意取定模H(p,q)，均有到其左下方的模的同态。(2)对任何(p,q)≤(q,r)，有同态δ:H(p,q)→H(q,r)。其中(1)类型的同态是互相交换的，而δ同态是相对于(1)类型同态的自然变换。用图表的语言叙述就是(1)类型同态之间构成三角形交换，而δ同态与(1)类型同态构成四边形交换。

如果满足如下公理:

(SP.1)对每个(p,q)，H(p,q)→H(p,q)是恒等映射。

(SP.2)任意三元组(p,q,r)构成正合偶，即序列...→H(q,r)→H(p,r)→H(p,q)→H(q,r)→...正合。

(SP.3)收敛条件:对每个q，正向系H(q,q)→H(q-1,q)→H(q-2,q)→H(q-3,q)→...的极限是H(-∞,q)。则我们称之为Cartan-Eilenberg 系。

这最经典的例子就是链复形A的过滤···⊆Fᵖ⁺1⊆Fᵖ⊆Fᵖ⁻¹⊆···，定义H(p,r)=H(Fᵖ/Fʳ)，由同调理论得这个构成Cartan-Eilenberg 系。

2.谱序列的定义

令Z(p;r)=Im(H(p,p+r)→H(p,p+1))，

B(p;r)=Im(δ:H(p-r+1，p)→H(p,p+1))，

根据定义可知，B(p;r)是Z(p;r)的子模，所以可以定义商

E(p;r)=Z(p;r)/B(p;r)

对公理(SP.2)利用模的第一同构定理，可得如下两个同构:

(1):Z(p;r)/Z(p;r+1)→B(p+r;r+1)/B(p+r;r)(该映射由δ诱导)

(2):E(p;∞)=FᵖH/Fᵖ⁺¹H。

我们把满射Z(p;r)/B(p;r)→Z(p;r)/Z(p;r+1)和单射B(p+r;r+1)/B(p+r;r)→Z(p+r;r)/B(p+r;r)与同构(1)复合，得到映射d:E(p;r)→E(p+r;r)。容易看出商H(E(r),d)=Ker d/Im d=E(p;r+1)，从而我们得到了一族微分复形列｛E(r)，d｝，后一个是前一个的同调。

根据收敛公理(SP.3)，我们可以得到Z(p;∞)=∩Z(p;r)，B(p;∞)=∪B(p;r)，所以E(p;∞)=Z(p;∞)/B(p;∞)=∩Z(p;r)/∪B(p;r)，而谱序列能决定Z(p;r)/B(p;r)，从而这又能确定E(p;∞)，所以根据同构(2)，这就能确定同调群的分次模GrH=ΣFᵖH/Fᵖ⁺¹H。谱序列的这种行为称为收敛。

3.谱序列的同调代数理论。谱序列本质上是链复形的同调，因此可用同调论的结果直接推出谱序列的性质。

例如，根据同构的链复形的同调也是同构的，所以如果两个谱序列的某一层是同构的，则之后的谱序列也是同构的，又如果谱序列强收敛，则诱导了同调群H的同构。

再例如，如果链复形上有乘积结构使微分满足莱布尼茨法则，即d(x·y)=dx·y+x·dy，那么其同调上也有乘积结构，因此我们可以对谱序列定义乘积结构。

在实际应用中，很多同调论都有各式各样的消灭定理，此时，谱序列的二维格点图的大部分区域是零，此时不仅很多项留存到无穷，即E(p;∞)=E(q;∞)，而且根据同调论的方法，还能产生非常有用的短正合列，例如0→E(p;2)→H(p)→E(p+1;2)→H(p+1)，这中短正合列对计算同调非常有用。这种情况类似于线性代数里面的稀疏矩阵。

4.谱序列的两种表示。

具体的，链复形A的过滤

···⊆Fᵖ⁺¹A⊆FᵖA⊆Fᵖ⁻¹A⊆···，得出的谱序列是同调子群的商，根据模的第三同构定理，得出

E(p;r)={a∈Fᵖ: da∈Fᵖ⁺ʳ}/(dFᵖ⁻ʳ⁺¹+Fᵖ⁺¹)。

接下来我们采用递归的方法来导出谱序列:

首先需要注意的是链复形的同调H是按指标n分次的。

利用谱序列E(r+1)同构于E(r）的同调，所以我们可以从谱序列的第一层E(1)开始，依次的作同调归纳的生成后续谱序列E(2),E(3),...E(r),...。

我们从r=2开始，在Z(p;2)和B(p;2)的定义中，我们把H(p,p+1)→H(p+1,p+2)分解成

H(p,p+1)→H(p+1)→H(p+1,p+2)，其中记H(p)=H(p,∞)。这两个映射涉及公理(SP.2)中(p,p+1,∞)和(p+1,p+2,∞)所对应的正合列。因此，我们考虑所有这些正合列，把它们标在p-n二维图上，这些正合列是一层一层的阶梯状排列着，相邻的阶梯层在H(p)处用竖直自然映射H(p+1)→H(p)连接起来。

我们规范记号，H(p,p+1)对应于E₁(p,n)，H(p)对应于D₁(p,n)，在这个图表中，谱序列的微分d就是往右跨两步E₁(p,n)→D₁(p,n)→E₁(p,n+1)。作同调E₂(n,p)=Ker d/Im d。

由图表交换知Kerd在D(p,n)中的像包含在D₂(p,n)=Im(D₁(p+1,n)→D₁(p,n))中。因此，p-n二维图上，把E₁(p,n)用E₂(n,p)代替，D₁(p,n)用D₂(p,n)代替，图表中的映射仍不变，特别是同调的微分仍然是从E₂出发向右跨两步。根据定义很自然的知道，这个图表的每一层阶梯仍然是正合列，从而我们得到了与原来一模一样的情况，如此反复，我们可以得到后续的谱序列E₃，E₄，E₅,.......

我们称(D₂,E₂）为(D₁,E₁）的导出偶，这种导出谱序列的方法是正合偶方法。

5.重要例子--Grothendeick谱序列。

设A,B,C是三个具有充分多内射元的Abel范畴，G:A→B和K:B→C是范畴间的加法共变函子，其中F是正合的，对于任意的A的内射元e，G(e)是K零调的。设a是范畴A中的对象，考虑其内射分解0→a→e¹→e²→e³→...，用函子G作用得到一个链复形0→G(e¹)→G(e²)→G(e³)→...

对这个链复形利用Horseshoe定理，可以得到它的内射分解0→G(eⁱ)→Mⁱ¹→Mⁱ²→Mⁱ³→...，如果把Mⁱʲ按矩阵形式排成二维点阵，则每一行构成链复形，且这些链复形的闭链，边缘链和同调都是链复形0→G(e¹)→G(e²)→G(e³)→...的闭链，边缘链和同调的内射分解。

｛Mⁱʲ｝构成了双复形，分别有水平和竖直微分d和δ。我们可以构成一维链复形，设Mⁿ=ΣMⁱʲ(其中i+j=n)，微分D=d+δ。我们有两个过滤F₁ᵖM=ΣMⁱʲ(其中i+j=n, i≥p)，F₂ᵖM=ΣMⁱʲ(其中i+j=n, j≥p)，根据这两个过滤我们可以得到两组收敛的谱序列。根据定义知，第一个谱序列E₁(p,r;2)=Hᵖ(Hʳ(d),δ)，即内层是由d得到的同调，关于δ组成链复形，外层是这个链复形的同调。同理可得第二个谱序列E₂(p,r;2)=Hᵖ(Hʳ(δ),d)。对于第一个谱序列，因为G(e)是K零调的，所以Hᵖ(Hʳ(d),δ)只有在在r不为零时才不为零，因此Hᵖ(H⁰(d),δ)留存到无穷，所以

Hᵖ(H⁰(d),δ)=Hᵖ(GK(e))=Rᵖ(GK(A))就是极限项。

对第二个谱序列，因为｛Mⁱʲ｝关于d的同调是链复形0→G(e¹)→G(e²)→G(e³)→...

同调的内射分解，所以

Hᵖ(Hʳ(δ),d)=RᵖK(Hʳ(G(e)))=RᵖK·RʳG(A)，它收敛到极限项，这就得到了Grothendeick谱序列

RᵖK·RʳG(A)➡Rᵖ(GK(A))。

如果设A,B是Abel层范畴，G=fₓ，F=Γ，则Grothendeick谱序列就化为Leray谱序列，利用上面的双复形导出谱序列的方法，可以证明Cech上同调理论中Leray定理。