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三角形重心的两个重要拓展结论

菜鸟理科 976

前言:

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1.三角形重心坐标为三个顶点坐标的平均值,即在△ABC中,A、B、C的坐标分别为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃),则三角形的重心坐标为

这个定理的证明在平面直角坐标系中是比较容易的。

D是BC中点,因此D的坐标可以计算出。

然后根据AO:DO=2:1,即可以计算出O点的坐标。

2.三角形重心到三个顶点距离的平方和最小

在△ABC中,P是三角形内一点,求证:当P是三角形重心时,PA²+ PB²+PC² 取得最小值。

谈到距离平方之间关系的证明,初中数学较少遇见这类问题。使用高中解析几何中的两点间距离公式比较容易解决,因为两点间距离的平方表达式中已经去掉了根号。

设A、B、C的坐标分别为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃),设P的坐标为(x,y),由两点间距离公式知:

|PA|²=(x- x₁)²+(y-y₁)²

|PB|²=(x- x₂)²+(y-y₂)²

|PC|²=(x- x₃)²+(y- y₃)²

因此|PA|²+|PB|²+|PC|²

=(x- x₁)²+(y-y₁)²+(x- x₂)²+(y-y₂)²+(x- x₃)²+(y- y₃)²

= 3x² - 2x(x₁+ x₂+ x₃)+(x₁²+ x₂²+ x₃²)

+3y² -2y(y₁+ y₂+ y₃)+(y₁²+ y₂²+ y₃²)

因为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)都是定值,且x和y独立,因此求这个式子的最大值,只需要分别求

3x²-2x(x₁+ x₂+x₃)

3y²-2y(y₁+ y₂+y₃)

这两个式子的最大值即可。

容易看出,这是两个分别以x和y作为参数的朝上开口的抛物线。

抛物线y=ax²+bx+c在x取对称轴坐标x=-b/2a时,取最小值。

即x=1/3 (x₁+ x₂+x₃),y=1/3(y₁+ y₂+y₃)时,|PA|²+|PB|²+|PC|²最小。

这个点(x,y)即是三角形重心的坐标。

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