前言:
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这个定理的证明在平面直角坐标系中是比较容易的。
D是BC中点,因此D的坐标可以计算出。
然后根据AO:DO=2:1,即可以计算出O点的坐标。
2.三角形重心到三个顶点距离的平方和最小
在△ABC中,P是三角形内一点,求证:当P是三角形重心时,PA²+ PB²+PC² 取得最小值。
谈到距离平方之间关系的证明,初中数学较少遇见这类问题。使用高中解析几何中的两点间距离公式比较容易解决,因为两点间距离的平方表达式中已经去掉了根号。
设A、B、C的坐标分别为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃),设P的坐标为(x,y),由两点间距离公式知:
|PA|²=(x- x₁)²+(y-y₁)²
|PB|²=(x- x₂)²+(y-y₂)²
|PC|²=(x- x₃)²+(y- y₃)²
因此|PA|²+|PB|²+|PC|²
=(x- x₁)²+(y-y₁)²+(x- x₂)²+(y-y₂)²+(x- x₃)²+(y- y₃)²
= 3x² - 2x(x₁+ x₂+ x₃)+(x₁²+ x₂²+ x₃²)
+3y² -2y(y₁+ y₂+ y₃)+(y₁²+ y₂²+ y₃²)
因为(x₁,y ₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)都是定值,且x和y独立,因此求这个式子的最大值,只需要分别求
3x²-2x(x₁+ x₂+x₃)
3y²-2y(y₁+ y₂+y₃)
这两个式子的最大值即可。
容易看出,这是两个分别以x和y作为参数的朝上开口的抛物线。
抛物线y=ax²+bx+c在x取对称轴坐标x=-b/2a时,取最小值。
即x=1/3 (x₁+ x₂+x₃),y=1/3(y₁+ y₂+y₃)时,|PA|²+|PB|²+|PC|²最小。
这个点(x,y)即是三角形重心的坐标。
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