程序员必学算法「动态规划」：01背包用滚动数组来实现

代码随想录 03-29 2254

前言：

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昨天程序员必学算法「动态规划」：关于01背包问题，你该了解这些中是用二维dp数组来讲解01背包。

今天我们就来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。

那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为：

重量价值物品0115物品1320物品2430

问背包能背的物品最大价值是多少？

一维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

一维dp数组的递推公式

dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);    }}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！，在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！中讲解二维dp数组初始化dp[0][j]时候已经讲解到过一次。

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒叙就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

（这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

举例推导dp数组

一维dp，费用用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

动态规划-背包问题9

一维dp01背包完整C++测试代码

void test_1_wei_bag_problem() {    vector<int> weight = {1, 3, 4};    vector<int> value = {15, 20, 30};    int bagWeight = 4;    // 初始化    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);        }    }    cout << dp[bagWeight] << endl;}int main() {    test_1_wei_bag_problem();}

可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！初始化和遍历顺序相对简单了。

所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！

在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。

总结

以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。

就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案！

此时01背包理论基础就讲完了，我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍，没有放过任何难点。

大家可以发现其实信息量还是挺大的。