#头条创作游园会#

充分条件与必要条件

一、充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p⇒q

p⇏q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

定立关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

【注意】

（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；

（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；

（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；

“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．

例如：帅哥是男人的______条件.

从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，既不必要；故答案是充分不必要.

二、充分必要条件与集合的关系

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

则由A⊆B可得，p是q的充分条件，

①若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若A⫌B，则p是q的必要不充分条件；

④若A＝B，则p是q的充要条件；

⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分必要条件判断精髓：

小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；

若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

例如：帅哥是男人的______条件.

设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.

再如：x>1是x>2的不充分必要条件，因为{x|x>2}⫋{x|x>1}.

全称量词与存在量词

一、全称量词与全称量词命题

1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示．

【注意】

（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由具体题目而定；

（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”.

2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

对集合M中的任意一个x，p(x)成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对∀∈M,p(x).

【注意】

（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；

（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

例如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

再如：对所有末位数是0的数能被5整除;∀x>0,x+≥2.

二、存在量词与存在量词命题

1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“∃”表示．

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．

存在集合M中的元素x，p(x)成立（M表示变量x的取值范围),简记为：对∃∈M,p(x).

【注意】

（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；

（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题;

（4）含有存在量词的命题，也叫做特称命题（存在性命题).

例如：至少有一个质数是偶数;∃x>0,3x-2>0.

三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

1、判断全称量词命题真假：

若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；

若为假命题，只要能举出集合M中的一个x=，使不成立即可；

2、判断存在量词命题真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一个x=，使成立，则这个命题为真，否则为假。

【注意】以上方法对解决考试中的选择题目非常适用，但到做填空和大题时特例的方法就用不上了。

四、命题的否定

1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或p的否定．

2、全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“∀∈M,p(x)”的否定是存在量词命题：∃∈M,¬p(x).

3、存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“∃∈M,p(x)”的否定是全称量词命题：∀∈M,¬p(x).

4、命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．

【注意】

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.这为我们后面的学习提供了多种可能，正面不好做，可以考虑从反而入手。

例如：∀x>1,的否定是∃x>0,其中∀x>1,是真命题，∃x>0,是假命题.

5、常见正面词语的否定：

正面词语

等于（＝）

大于（＞）

小于（＜）

是

都是

否定

不等式（≠）

不大于（≤）

不小于（≥）

不是

不都是

正面词语

至多有一个

至少有一个

任意

所有

至多有n个

否定

至少有两个

一个都没有

某个

某些

至少有n+1个

充分条件与必要条件、全称量词与存在量词在高中数学的地位

在高中数学中，充分条件与必要条件以及全称量词与存在量词占据着重要的地位，它们不仅是数学逻辑推理的基础，还在解决数学问题和证明数学定理中发挥着关键作用。

一、充分条件与必要条件的地位

1、定义与理解

充分条件：如果命题A的成立导致命题B的成立，那么称A是B的充分条件。即只要A成立，B就一定成立，但B的成立不一定需要A的成立。

必要条件：如果命题B的成立必须依赖于命题A的成立，那么称A是B的必要条件。即B要成立，A必须先成立，但A的成立并不一定能导致B的成立。

充分条件与必要条件的理解有助于学生更好地掌握数学中的逻辑关系，提高解题和证明的能力。

2、应用

在解决数学问题时，经常需要分析条件的充分性和必要性，以确定问题的解或证明命题的真假。

在证明数学定理时，可以通过构造充分条件或必要条件来简化证明过程，使证明更加严谨和清晰。

二、全称量词与存在量词的地位

1、定义与理解

全称量词：用符号“∀”表示，意为“对于所有”或“任意”。在数学中，它用来表示某个性质适用于某个集合中的所有元素。

存在量词：用符号“∃”表示，意为“存在”。在数学中，它用来表示某个性质至少适用于某个集合中的一个元素。

全称量词与存在量词的理解有助于学生更好地把握数学命题的普遍性和特殊性，提高逻辑推理的精确度。

2、应用

在描述数学问题时，经常使用全称量词和存在量词来明确问题的条件和结论。

在证明数学定理时，全称量词和存在量词是表述定理条件和结论的重要工具。通过合理运用这两个量词，可以严谨地表述和证明定理。

在解决数学问题时，如求解方程、不等式等，也经常需要用到全称量词和存在量词来明确问题的解集。

充分条件与必要条件以及全称量词与存在量词在高中数学中占据着举足轻重的地位。它们不仅是数学逻辑推理的基础，还是解决数学问题和证明数学定理的重要工具。通过深入理解和灵活运用这些概念，学生可以提高数学思维能力、解题能力和证明能力，为未来的学习和研究打下坚实的基础。