上一篇我们简要讨论了，用一般尝试的方法无法在正方形的点阵网格中做出一个等边三角形，使其三个顶点都在网格的点上，但数学是严谨的，我们能否用数学的方法去证明点阵网格中到底能不能做出一个等边三角形呢？

在点阵网格中有两个非常重要的性质，这两个性质是证明能否做出等边三角形的关键点

首先，我们在点阵网格中作一条端点都在网格点上的线段

将线段绕任意端点旋转90度，它的另一端会旋转到网格的点上

我们继续旋转90度，它的另一端同样会旋转到网格的点上

再旋转90度，另一端仍然会在网格的点上

第二个性质：

将两个端点在点阵网格上的线段平移，其中一个端点与下一个网格点重合时，另一个端点同样会在网格点上

我们继续平移，同样线段的两个端点始终在网格的点上

进入我们的关注的主要问题：假设在正方形的点阵网格中可以做一个等边三角形，使其三个顶点都在网格的点上

我们运用上述的性质平移三角形的一条边，如下图红色线段

那么我们就得到点阵网格中的另一个等边三角形

我们把红色的线段平移到如下图的位置

又得到变换后的另一个等边三角形，它的三个顶点仍然在网格的点上

我们继续平移上述红色的线段，就得到如下图的样式

同理，平移后最终得到

我们经过上述的平移变换后，就得到6个点都在点阵网格上的正六边形

所以最终问题就转化成：能否在正方形的点阵网格中做出一个正六边形，如果可以，那么一定可以做出一个等边三角形，使其各顶点都在网格的点上。