假设V 是数域F上的有限维线性空间. 如果V1, V2是V 的两个子空间, 则

dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2)。

证明 假设β1, ..., βk是V1 ∩ V2的基. 由于V1 ∩ V2是V1的一个子空间, 我们可以 把β1, ..., βk扩充为V1的一组基α1, ..., αs, β1, ..., βk. 同样的, 我们可以把β1, ..., βk扩 充为V2的一组基β1, ..., βk, γ1, ..., γt。

首先我们说明α1, ..., αs, β1, ..., βk, γ1, ..., γt是线性无关的. 如果它们线性相 关, 那么一定存在不全为0的a1, ..., as, b1, ..., bk, c1, ..., ct, 使得

a1α1 + · · · + asαs + b1β1 + · · · + bkβk = c1γ1 + · · · + ctγt。

上式的左边在V1中, 右边在V2中. 因此, c1γ1 + · · · + ctγt ∈ V1 ∩ V2. 由γ1, ..., γt的 取法可知, γ1, ..., γt都不在V1 ∩ V2 中, 因此c1 = · · · = ct = 0. 同样的道理可以知 道a1, ..., as, b1, ..., bk也必须都是0. 所以α1, ..., αs, β1, ..., βk, γ1, ..., γt是线性 无关的。

其次我们说明α1, ..., αs, β1, ..., βk, γ1, ..., γt能够张成V1 + V2. 这是因 为α1, ..., αs, β1, ..., βk 能张成V1, β1, ..., βk, γ1, ..., γt能够张成V2. 所以它们 合在一起能够张成V1 + V2。

因此α1, ..., αs, β1, ..., βk, γ1, ..., γt是V1 + V2的一组基. 所以

dim(V1 + V2) = s + k + t = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2)。

这个定理的意思其实很好理解。

比如，我们假设有两个班的学生，他们要进行期末考试。

一班的考试科目为：高等数学、线性代数、英语，政治，构成空间V1。

二班的考试科目为：大学物理、程序设计、英语，政治，构成空间V2。

那么，V1 ∩ V2 = {英语，政治}

由V1, V2构成的V 空间={高等数学、线性代数、英语，政治，大学物理、程序设计}

其中的英语，政治不能重复计算。

V1 ∩ V2是V1的一个子空间，意思就是当把一班学生的成绩只保留{英语，政治}的分数，而高等数学、线性代数的分数都默认为0分。

把β1, ..., βk扩充为V1的一组基α1, ..., αs, β1, ..., βk，这里的β1, ..., βk就是{英语，政治}，扩充后就是{高等数学、线性代数、英语，政治}，也就是把一班学生的高等数学、线性代数两门课的成绩重新计入。

自然的，γ1, ..., γt={大学物理、程序设计}。很明显，{大学物理、程序设计}的成绩是无法用其它四门课程的成绩来线性表示的。

那么，什么情况下{大学物理、程序设计}这两门课的成绩可以用其它四门课线性表示呢？

如果把{大学物理、程序设计}换成{数学、文科}，并且规定，数学成绩由高等数学占60%、高等代数占40%构成，文科成绩可以做类似规定就可以了。