前言:
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今天,把前三篇和未来写作计划汇总在这里,方便大家集中阅读。
01
#等式的奥秘# 破坏了等式的相等性,你一眼就看到了
在给孩子启发整数的奇偶特性,可以用来帮我们验算的时候。
首先给孩子讲了一个小时候的故事:
“
小学时候,有一次在一个学校边的小店里买文具。
老板找我钱,我看了一眼就说:您找错了。
老板愣了一下,算了算,确实找错了。我倒是没什么,退给老板一点钱后就走了。
但老板到处去宣传,说我是一个神童,说我算题是秒算。
他的话再辗转传回我的耳朵的时候,我自己都愣住了:“我给您是5元,文具总价是偶数毛,您找给我奇数毛,肯定错了。我根本就没有算啊。您到处夸我有计算器一样的秒算能力,我这……”
从那之后,我猜想很多传说中的神童,可能都是从误会开始的(人家的习惯,我们以为是什么神奇的特异功能)。
”
然后开始推销 #等式的奥秘# 中的一个法则:等式,其实是一种平衡,左右两边相等的平衡。就像天平,一旦左边或者右边增加了一点砝码,只要两边不相等了,天平就会发生倾斜。
前面的故事中,5元是50毛,是一个偶数,估计中的计算是:偶数-偶数=偶数,这是一个等式,但文具店老板店老板找出来的数是奇数,肯定就不等了,破坏了相等性,于是你可以立刻说他算错了。
推而广之,有些等式不成立,左边不等于右边,你不一定要计算出来,但可以用几个校验的方法,敏锐的感知到:
(1)奇数与偶数的加减:奇数+奇数=偶数(偶数-奇数=奇数);奇数+偶数=奇数(奇数-偶数=奇数);偶数+偶数=偶数(……)。
(2)奇数和偶数的乘除:两个数甚至多个数相乘,其中有一个是偶数,结果一定的偶数;都是奇数,结果则是奇数。
(3)末位数相乘的验证:991*97,末位数一定是7;773*665,末位数肯定是5……如果不是,肯定就算错了。
在我们小时候,对这种验算方法疯狂着迷的时候,每次做完一道题目,就会习惯性的,再扫一眼,用上面三个法则之一验算一下。
当然,如果你数字写得很清楚,旁边乘法算式写得很整齐,一般不会错,但快速校验一下嘛,总是好的。
btw:这篇文章经加加审读之后,把原来的标题“等式的平衡”,改为了“等式的相等性”。她说:等式的平衡,你讲给小朋友听,有障碍。想了想,采纳了她的意见。
// 思考题:如果你要验证两个数字相乘的首位是不是正确,你该如何验证呢??
大家可以改改这个故事,有空就讲给自己的孩子听吧。数字加减的奇数偶数特性,孩子应该很小就可以明白的,但家长也别心急,低年级慢慢启发。
02
#等式的奥秘# 家长要帮助孩子理解过桥变号
加加上小学二年级的时候,在学校的奥数班学到了“过桥变号”这个口诀。回家秀给我们看。
我顺口问了一句:那你知道为什么可以这样过桥变号吗?
她想了想,摇头:为什么啊?
于是有了下面的讲解:
你看,3+3=6,这是一个等式,对吧,两边相等。
只要是等式,就有一个法则:等式两边同时加减一个数,等式不变。
你想一想,是不是这样的:既然你两边相等了,两边同时加减一个相同的数,肯定还是相等啊。比如7=7,两边同时减去3,那么就是4=4了。
回到这个案例,3+3=6,是一个等式,我们把两边同时减去3,结果就是:
3+3-3=6-3,
所以,上面的式子又变成了:
3=6-3 .
对不对,和最早的3+3=6这个等式相比较,是不是就完成了一个过桥变号的过程。
好了,现在我们拓展一点,如果不是3+3=6,这个等式,而是:X+3=6这个等式。我们用一个字母表示任何可能的数。
我们同样用等式的这个法则:等式两边同时加减一个数,等式不变。
我们把两边同时减去3,就变成了:
X+3-3=6-3。
加上3,减去3互相抵消,就变成了:
X=6-3了,是不是就完成了过桥变号的过程。
闺女看了这个过程,很惊叹:原来原理是这样的。
我:老师让你们记住,然后会用就行了,估计是考虑到你们都还太小了。爸爸也只是尝试一下让你理解。觉得理解了,记忆得更准确。小时候,我就是这样的,老师讲了一个内容,我回家总要琢磨琢磨,为什么呢,为什么是这样的呢?在理解的基础上记忆,总是更清晰,不行了,自己再推导一遍公式什么的。
写完这篇,给加加看,加加说她记得,第一次是是小学二年级讲的,但实际上,加上未知数X,你只是提了一下。后来小学四年级,她开始学了未知数之后,又给讲了一遍,这次的理解就更加深刻了。并且,很可能二年级的时候,只是当时理解了,过了就忘了,没有后来四年级理解深刻。当然,四年级的时候,你又给加上了几个字母,讲了讲:a+b=c,等式两边同时减去b,得到了:a=c-b这样的等式。
所以,各位家长,拓展部分,如果你家孩子还小,不用让他立刻理解的。因材施教,因材施教啊,一定要时刻记得。
说明一下:孩子肯定是交给老师的,但老师面对几十个孩子,肯定是照顾平均水平,家长要适当因材施教。这一次也让我触发了要辅助孩子理解课程中一些内容的想法,慢慢开始整理我小时候的一些记忆。
03
#等式的奥秘# 等式两边同时乘除一个不为零的数,等式不变
加加上完四年级之后,自己信心满满:原来我爸给我打好基础之后,代数如此简单和美妙。暑假要去挑战奥数课程,没想到,来了一个当头一棒。
课程直接从分数方程开始。孩子有些发怵,跑来问我。
我说:分数方程不难,爸爸给你讲清楚一个数学原则,你就明白了。
“
你看,3=3,是一个等式吧。
那么,这个等式两边,同时乘以一个数,比如说8,那么3*8=3*8,还是一个等式,对不对。
这就是我常说的"等式的奥秘"中的一个原则:等式两边,同时乘以一个不为零的数字,等式还是不变的。为什么要不为零呢,因为如果是零的话,相乘之后,等式两边肯定还是相等的,但是就简化为0=0,没意义了。你先这样理解吧。
”
“
如果是一个方程,x=3,你等式两边,同时乘以8,那么,就是8x=3*8了,等式肯定还是成立的。
接下来,就是见证奇迹的时刻了:
如果你是1/8*x=3,你等式两边同时乘以8,那么,是不是就简化成了 x= 3*8了?
”
今天的重点,还不是给你讲等式的奥秘,其实是数学家的一个思维习惯:碰到新问题,总是简化成用已知的,我们熟悉的工具来解决问题。
你想一下,是不是这样的,我们碰到分数方程,等式两边,同时乘以一个数,瞬间把分数方程转化为你熟悉的自然数方程,你是不是就可以解这样的方程了?是不是不难??
当然,这里面有一个技巧:比如1/3*X + 1/4*X+1/6*X = 3,你等式两边同时乘以所有分母的乘积,这一题就是乘以3*4*6即可。就自然把所有的分数项,转化为自然数项了,对吧?
但是,你可以去想一想:一定都乘以分母的乘积吗?最小公倍数为什么要在学习分数的前后来学习呢??想一想吧。
嗯,总结一下:
碰到新问题,简化为旧知识,是一个好习惯,舒适区就是这么扩张的。我们总说,数学知识是一个链条接一个链条衔接起来的,你看,分数方程,就这样和自然数方程,衔接起来了。
你做完这些题目之后,可以再想一想,自然数和分数是如何衔接的,还有什么地方的知识,她们也是这样衔接的。多想一想,你会发现,数学是最简单的:清晰明了的一张知识图在大脑里。
//注意:加加习惯我这样高举高打,先讲一个数学道理,吸引她,然后去练习。各家情况不一样,讲解需要注意细节不同。
04
#等式的奥秘# 等式和等式可以传递
S=VT T=xxx ??提醒孩子别忘了。
#等式的奥秘# 等式和等式还可以相加减
人大附中的那道题。
#等式的奥秘# 等式可以分解成两个或者多个等式的和!
比如:100a+10b+c,被3整除的等式,就可以分解成:99a+9b+(a+b+c)的和,再来分解,无所谓的。
#等式的奥秘# 有几个等量关系,就能求出几个未知数来!
#等式的奥秘# 等高模型,一半模型,蝴蝶模型,几何中也有等式的奥秘
无论你如何变形,但某一个代数性质始终如一!
小学毕业时,用代数的方法,看透算术的世界——#等式的奥秘# 终极篇
(作者:爱编程的魏校长,文章来源:育儿daybyday。(C) 版权所有,保留所有权利。)
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