1、什么是**(set)

2、什么是函数(function)

3、什么是 injection（单射），surjection（满射），bijection（双射）

4、什么是countably infinite（可数无穷），什么是uncountably infinity（不可数无穷）

5、什么是partial order（偏序）

6、什么是equivalence relation（等价关系）

7、什么是Zorn‘s lemma（佐恩引理）

数学到底在做什么呢？说到底，数学的研究对象如下：

1、首先，有一大堆东西

2、然后，我们看看这一大堆东西有什么结构。

比如说，我们看看所有的整数。整数上面有一个结构，叫做加法。加法是个好东西，它符合交换律，结合律，各种好。

对于整数和加法，最重要的性质如下：

0、任何两个整数，相加之后还是整数

1、结合律：a+(b+c)=(a+b)+c

2、有一个极其神奇的整数，叫做0。它太神奇了，以至于任何一个整数 a，a+0=0+a=a。

3、任何一个整数 a，我们都能找到 a 的相反数 -a 使得 a+(-a)=(-a)+a=0

于是乎，数学家开始思索，我们能不能在其他东西上也找到类似的结构呢？

考虑所有的非0有理数，考虑他们的乘法结构。

显然有以下四条：

0、任何两个非0有理数，乘积还是非0有理数

1、乘法符合结合律：(a*b)*c=a*(b*c)

2、存在一个神奇的非0有理数，叫做1，使得对于任何有理数a，我们都有 1*a=a*1=a

3、任何一个非0有理数 a 都有一个倒数，姑且叫做 a'，使得 a*a'=a'*a=1

简单来说，群论就是研究符合这类的四条规律的结构

弱弱地冒充大神，留出一下作业，then we can call it today....

作业：上网查资料，或者查书，或者问人，了解集ji合he，函数，单射，满射，双射的定义。

加强版作业：如果还有空闲的话，了解一下交集，并集，补集相关的运算律，还有集ji合he的乘积，集ji合he的幂的定义。幂那一个可能有些难度，找不到或者看不懂都无所谓。集ji合he的乘积比较重要，因为下一次我们要开始讲binary operation。

满射就是A元素在B都可以找到，且B的元素比A多。单射就是一个对应一个，双射就是两个对应一个！作业完成完毕！

不错。现在复习以下一些概念：

我们说过，我们要研究的呢，就是“一大堆东西”和“这些东西的结构”。这一大堆东西就组成了**。而结构呢，通常就是二元运算。二元运算简单的说，就是把两个元素映射到一个新元素。比如对于整数的**，我们有“加法”这个二元运算。对于非0有理数，我们有乘法这个运算。

定义1、给定一个**S，那么一个在S上的二元运算(binary operation)是一个函数。这个函数的定义域是S*S，值域是S。

定义2、群(group)是一个**G和一个在G上的二元运算 *，简写为（G,*），同时它具有一下性质：

1、 associativity：任何G的元素a,b,c,我们有a*(b*c)=(a*b)*c

2、identity：G里面存在一个元素 e，叫做单位元（identity），使得任何元素a，我们都有a*e=e*a=a

3、inverse：G的任何元素a都有一个反元素（inverse）一般写作 a 的 -1 次方，不过这里不好打字，所以我们姑且管它叫做 a'，使得a*a'=a'*a=e。e就是第二条中定义的单位元。

这就是群的定义

其实，这里还必须有另外一条性质，只不过定义里面表达地比较含蓄⋯⋯根据我们的定义，* 必须是一个二元运算。所以它的值域必须是G。换句话说，我们的最后一条性质是：

0、任何G的元素a,b，那么a*b必须还是G的元素。

这条性质一般不在定义里面，因为当我们说“*是一个二元运算”的时候，就等于说第0条性质必须成立了。

下面看一些例子：

1、最简单的，(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是群。这里Z代表整数稽核，Q代表有理数稽核，R代表实数稽核，C代表复数稽核。这里面，identity都是0，inverse都是相反数。

2、在三维空间中，所有的向量组成了一个群，运算是向量加法，单位元是0向量。

3、假设有一个只有三个元素的**A={a,b,c}。那么我们有很多从A到A的双射函数。把这些双射函数看成元素，就得到一个**，叫做S3。S3一共有六个元素，分别如下：

(a->a,b->b,c->c) [这里这个意思是说，这个函数把a映射到a，把b映射到b，把c映射到c]

(a->a,b->c,c->b)

(a->b,b->a,c->c)

(a->b,b->c,c->a)

(a->c,b->a,c->b)

(a->c,b->b,c->a)

现在我们可以在S3上面定义一个运算，就是函数的复合。比如说，假设我们有函数f和g，那么我们定义一个新函数f*g。这个函数把任何一个A的元素 x 映射到 f(g(x))。比如说，我们让f和g分别等于上面列表中的第二个和第三个函数。那么由于f(g(a))=f(b)=c，我们有f*g(a)=c。同理f*g(b)=a，f*g(c)=b。所以，f*g是上面列表中的倒数第二个元素。

练习1：证明例子3中定义的这个鬼东东是一个群，找到单位元和每个元素的反元素。

说一下你上次的作业：

回答不很好⋯⋯大胆假设很好，但是需要小心求证⋯⋯建议你多查下百度百科。（如果将来打算学数学，建议练练英文。）

单射满射双射说的都是函数。

什么是函数呢？简单来说，函数可以看成是一个机器。你从A（定义域）里面挑一个元素输入，它就产出一个B（值域）里面的元素。如果a是A的一个元素，f是一个从A到B的函数，那么f(a)一般就表示 a 所对应的值。以下，我们将一直假设 f 是一个从A到B的函数 （符号表示：f:A->B）

单射：我们说一个函数f是单射，就是说任何A的元素a,b，如果f(a)=f(b)，那么一定有a=b。仔细想想的话，这个定义是说，不同的元素，一定被送到不同的值。比如说，从整数到整数，“乘以2”看以看成是一个函数。就是说，f(x)=2x。这个函数显然是单射。

满射：我们说f是满射，就是说对于任何一个B中的元素 y，我们一定能在A中找到某个 x，使得 f(x)=y。换句话说，f把B全覆盖了⋯⋯之前那个乘以2的例子，就不是满射

双射：f是双射，意思是说A和B的元素有一一对应的关系。任何一个A里面的a，B里面都有唯一的b与之对应；反过来，任何一个B里面的b，A里面都有唯一a与之对应。一个显而易见的结果是，我们可以定义f的反函数，姑且叫做f'。就是说，如果f(a)=b,那么定义f'(b)=a

这次作业：

1、就是练习1，证明那个诡异的东西是个群

2、证明：一个函数f是双射，当且仅当它既是单射又是满射，当且仅当它有一个反函数。（就是说这三条都是充要条件）

任何名字不会了或者不确定，赶紧问，没关系。加油吧~

最近有点忙了，估计明天来不了⋯⋯我们正到了期末考试高峰期⋯⋯

下集预告：继续给例子，但是这次要给一些“你以为是群，结果不是群”的例子。目的是进一步加深理解定义。然后开始证明一些最基本的群性质。

我打算基本参照 Dummit and Foote的著作给你讲⋯⋯所以我的主要工作就是翻译⋯⋯

先做第一题。根据定义，运算后还是**中的元素，令1到6行的眏射分别是A，B，C，D，E，F。

A.B=（acb）=B同理可得A.C=C A.D=D A.E=E A.F=F所以A就是单位元。B.C=（cab)=E B.D=（cba）=F…B.E=（bac）=C…BF=(bca)=D.、CD=B CE=F CF=E DE=AD DF=B EF=C

整理一下，我一共在纸上列举了30种运算，运算出的答案都在**内，我发现无论哪一个和A（abc）作运算，都是它本身，所以A是单位元，其中ED=A，DE=A，所以D与E，D与F互为逆元，发现符合结合律，比如说（BE）B=B（EB）=D

不好意思，上面抄错了一点，应该是DE=ED=A互为逆元

不错，辛苦啦⋯⋯一个个做运算是非常累的，不过当然肯定是正确的。事实上，很多伟大的数学发现都是一点点计算出来的，所以首先表扬。

更简洁的做法：

首先回忆定义S3是一个**。S3的每一个元素都是从A到A的双射函数。

首先，双射函数的复合永远是双射函数。就证明了性质0。

结合律也是函数复合的性质。任何函数f1,f2,f3，那么f1*(f2*f3)=(f1*f2)*f3，这里面星号表示函数复合。你可以自己证明这个试试。证明过程大概参考下面这个过程。这样就证明了性质1。

然后，由于A把每个元素都映射到自己（这类函数又叫做identity function。原因自然就是单位元啦⋯⋯），所以任何函数f，任何元素x，我们有 f*A(x)=f(A(x))=f(x)，并且A*f(x)=A(f(x))=f(x)，所以A*f=f*A=f，所以A是单位元。这样就证明了性质2。

最后，每一个双射函数f，都有一个反函数f'。根据反函数定义，f*f'=f'*f=A。证明完毕。

Remark：

这个证法事实上证明了一个更广泛的东西。

让S作为任何一个稽核。那么我们有很多从A到A的双射函数。假设G(S)是这些双射函数的稽核。那么G(S)是一个群。

首先，定义一个函数 id：A->A，使得对任意元素 x，id(x)=x。（换句话说，id把每个元素映射到自己）。显然id是这个群的单位元。其他的群的性质，可以很容易地通过双射函数的性质证明。

现在我们来扯一些大白话，远离一下严谨的数学。

我们来讨论一个哲学问题。什么是对称？一种观点认为，对称就是“把一个东西进行变换，最后和这个东西自己重合”。比如说，一个等边三角形，顺时针旋转120度，就和自己重合了。那么顺时针旋转120度就是一种对称。一个抛物线y=x^2，沿y轴翻转，就和自己重合了，这里的翻转也是一种对称。

那么，如果把对称看成是一种双射。那么以上我们证明了，任何一个物体的对称都是一个群。什么是群论？一种哲学认为，群论就是研究对称的学问。

那么什么是美？所有的美，归根结底就是看到了某种对称结构。没有对称就没有美。在你的生活中，每当你感到一件东西很美，那么，你其实是潜意识里面看到了这个东西的群论结构。

所以群论很美，同时群论超越了美。或者说，群论是美的抽象化结果。

Remark：一定要注意的是，同一个稽核，在一种运算下可能是群，但是在另一个种运算下可能就不是群。

比如说（整数，加法）是一个群。但是（整数，乘法）就不是一个群，因为没有反元素。（整数，减法）也不是群，因为不符合分配率。

同理，同一个运算，但是定义在不同的稽核上，也可能导致有时候是群，有时候不是群。我们知道（非0有理数，乘法）是一个群。但是（有理数（包括0），乘法）就不是群，因为0没有倒数。

我们接下来要讲几个基本性质，你可以先自己证证看：

Prop1、一个群最多只能有一个单位元

Prop2、群里面的一个元素最多只能有一个反元素

Prop3、群里的任意一个元素a，它有反元素a'。同时a'又有一个反元素a''。那么a=a''。

Prop4、(a*b)'=b'*a'，这里 ' 一如既往代表反元素。

（你看别的书的时候，如果发现名词不一样，那就赶紧纠正我吧⋯⋯我微积分以上都是用英文学的）

证明1，采用反证法，设存在一个群有两个单位元A和F,且A不等于F,因为群内任何元素与单位元运算任是本身，所以A.F=A=F,结论与已知前提矛盾，则假设的否命题成立，任意群只有一个单位元，证明完毕！

证明2同理反证法，设存在一个单位元为I的群，有元素S,且S有两个不等逆元A与F，因为结合律

(S.A)F=(S.F)A,又因SA=SF=I,所以I.F=I.A A=F,结论与已知矛盾，则一个元只能对应一个逆元

证明2同理反证法，设存在一个单位元为I的群，有元素S,且S有两个不等逆元A与F，因为结合律 (S.A)F=(S.F)A,又因SA=SF=I,所以I.F=I.A A=F,结论与已知矛盾，则一个元只能对应一个逆元

证明3,a.a'=I a'.a''=I 所以a=a''

证明4分析法，(ab)'=a'b' (ab)'ab=a'b'ab=I（单位元）

以下为了方面，省略运算符*。所以a*b我就直接简写成ab。

一个关于群论很重要的东西是，任何两个元素a,b，很可能ab不等于ba。换句话说，尽管结合律成立，但是交换律可以不成立。

第一个证明非常好。注意，其实反证法是不必要的，可以直接证明。假设a和b都是单位元，那么a=ab=b，所以任意两个单位元都是同一个单位元。所以单位元唯一。

一般来说，当你需要证明某个东西唯一的时候，我们要做的就是假设a,b都是这个东西，那么推出a=b，所以这个东西最多只能有一个。

证明二有点问题。结合律只能告诉你 (ab)c=a(bc)，却绝对没有(ab)c=(ac)b。结合律的意思是，你完全可以省略括号，所以我完全可以写a*b*c，因为你怎么加括号，运算得到的都是同一个元素。但是，绝对不可以调换两个元素！！

不过，你的思路基本正确。假设S有两个不等逆元，A和F。那么考虑ASF。

我们有 A=AI=A(SF)=(AS)F=IF=F。所以最多只能有一个逆元

证明3正确。证明4有问题。(AB)'=A'B'是错误的。我们要证明的是(AB)'=B'A'，顺序必须调换过来。这就好像是说，“先穿袜子再穿鞋”这个操作，反过来是“先脱鞋再脱袜子”，而绝不能“先脱袜子再脱鞋”。

首先，(AB)'指的是AB的逆元。所以我们只需要证明B'A'是AB的逆元就可以了。

考虑B'A'AB。我们有(B'A')(AB)=B'(A'A)B=B'IB=B'(IB)=B'B=I。所以B'A'是AB的逆元。根据逆元的唯一性，(AB)'=B'A'

所以接下来很重要的，群分为两种，一种叫交换群(abelian group)，另一种叫非交换群(non-abelian group)。

定义：交换群，就是符合交换律的群。换句话说，任何元素 A，B，我们都有AB=BA

非交换群就是交换律不成立的群。

(Z,+),(Q',*)都是交换群，这里Q'指的是非0有理数。

但是之前的例子里面，S3就是非交换群。你可以算算看，一共不过6个元素。事实上，S3是最小的非交换群。任何一个非交换群都至少有6个元素。

列举发现S1（a→a）和S2（a→a,b→b，a→b，b→a）都是可交换群，S3不符合交换律，所以是最小不可交换群

书的话我不好推荐。我入门学习的是dummit and foote的书，但是是英文的。从教学角度来说，我觉得这是我见过的最好的书之一，由浅入深讲解得当。amazon上面肯定有卖。

新课：

再最后证明一个重要的性质

Prop：假设有一个群G，a和b是不同的元素，c是任意一个元素。那么ac一定不等于bc，同时ca一定不等于cb。

证明：反证法。假设ac=bc。让c'代表c的逆元，那么由于ac=bc，我们有(ac)c'=(bc)c'，所以根据结合律a(cc')=b(cc')。这里cc'显然得到单位元e。所以ae=be，所以a=b,矛盾。另一个命题的证明类似。

推论：所以任何群中，如果ab=ac，那么我们有b=c。如果ba=ca,那么b=c。换句话说，我们可以在某种意义上，“等号两边同时约掉a”。

假设有一个群，只有一个元素。那么这个群可能是什么样子的呢？

假设这个稽核是G，这个唯一的元素是a。那么a*a唯一可能的值，只能够是a。所以a*a=a。

换句话说，{a}这个稽核，加上运算a*a=a，构成一个群，显然符合各种群性质。这里a是单位元，同时是它自己的逆元。

这个群显然十分白痴，毕竟只有一个元素。这个叫做”当然群“⋯⋯名字也很白痴⋯⋯

假设一个群只有两个元素。那么假设这个稽核是{a,b}。那么考虑a*a，只可能有两种情况：a*a=a或者a*a=b。

1、假设a*a=a。那么根据这次课一开始那个Prop，由于a不等于b，a*b必须不等于a*a。所以只能有a*b=b。同理我们得到b*b=a，b*a=b 。

所以这个群是{a,b}，其中a是单位元，每个元素都是自己的逆元。这个群又叫C2（两个元素的循环群）。

2、假设a*a=b。通过同样的推理，我们得到一个基本上一模一样的群{a，b}，这里b是单位元。这次的群其实就是上次的群，只不过a,b 互换了一下位置。

你可以试试自己研究下，三个元素的群，四个元素的群，以及五个元素的群分别是什么样子的。

循环群，二面体群，对称群，群同构，群同态

英文：cyclic group, dihedral group, symmetric group, isomorphism, homomorphism

循环群：

循环群(cyclic group)

首先回忆：整数里面，我们有同余。2同余于5 mod 3 意思就是说 2 和 5 的差是3的倍数。这里我假设你对这个很熟悉。

那么,我们可以把整数分为3部分：a0={同余于0 mod 3的数}，a1={同余于1 mod 3的数}，a2={同余于2 mod 3的数}。

那么a0,a1,a2 构成一个群。a0作为单位元，运算是“加法”。举例来说，所有同余于2 mod 3的数加上同余于2 mod 3的数，都一定同余于1 mod 3。那么我们就定义a2+a2=a1。这个定义的结果是，任何x,y，我们有 a_x+a_y=a_(x+y)。（这里下划线“_”代表后面的东西是脚标，同时x+y代表0,1,2之中同余于x+y的那个数）

换句话说，我们也可以说这个群是{0,1,2}，运算是加法，只不过我们每次达到3,就都循环回0。0+1=1,1+1=2,1+2=0，每次+1 就到下一个数循环往复。

所以这个叫做3个元素的循环群。0是单位元，1与2互为逆元。

这里我们看到，从某种意义上，1这个元素“生成”了整个群。就是说，从单位元开始，通过与1进行运算（不停+1），我们得到了所有的元素。所以1叫做这个群的生成元。生成元不一定只有一个。这里2也是生成元，因为0+2=2,2+2=1,1+2=0,得到所有元素。

同理，n个元素的循环群就是{0,1,2, ... , (n-1)},运算是加法，每次到达n就循环回到0。

n个元素的循环群一般简写成 Cn （C for cyclic group）. C1是当然群。C2是之前那个两个元素的群。

群论的一大类核心问题，就是问，假设一个群有n个元素，那么这个群可能长什么样。循环群为这个问题迈出了第一步：

定理：假设一个群有n个元素，同时n是一个质数，那么这个群只能是循环群。

我们还没有学到证明这个的程度。不过我提前把这个定理放出来，目的是展示一下，群论和数论有着千丝万缕的联系。

作业：对于以上这个定理，验证n=2,3,5的情况。

Remark：

1、循环群一定是交换群，因为归根结底，它的运算是加法，而加法符合交换律。

2、循环群的标准定义：存在一个生成元的群就是循环群。这个定义和以上那个定义是基本一样的。只不过以上那个定义，我们假设群有有限个元素。

3、生成元的定义：假设e是单位元，那么a是生成元，意思是说，所有的元素，都能够通过{e,a,a'}彼此进行运算来生成。这里a'是a的逆元

4、（Z，+）是一个有无限个元素的循环群，1作为生成元。

5、有时候也会把循环群写成乘法的形式。这样我们用1表示单位元，用a表示某个生成元，那么这个群是{1,a,a^2,a^3, ...}这里“^”表示次方。

作业，n=5时， an={5t+n同余于n mod5}(n为小于等于5的整数，t为自然数)。 将产生以下循环！1＋0＝1 1＋1＝2 1＋2＝3 1＋3＝4 1＋5＝1。an1+an2=5(2t-1)+(n1+n2)

基本数论复习提纲：（你看看，哪个不会，就复习或学习一下哪个）

1、质数，合数，互质，最大公约数，最小公倍数

2、同余，同余的加减乘除，同余的乘方

3、孙子定理：一个自然数x，除以3余2，除以5余1，除以7余4，问x可能是几？

为了加深对循环群的理解，我觉得我们可以先跑一下题，讲一点**论的东西。equivalence relation什么的挺核心的

11是对的。准确的说，应该是所有同余于11 mod 105的数。比如说，116也是一个答案

从现在开始的大纲（Syllabus）

零、基本**论

我打算先跑一下题，讲一点基础的**论。可能会有点抽象，不过对以后的理解有好处。

一、群论

1、定义和基本性质（已经基本讲完）

2、各种例子（循环群，二面体群，对称群）。这里我计划跳过矩阵群一类的东西，尽量避免线性代数。

3、同态，同构，子群，正规子群

4、深度研究循环群，生成子集⋯⋯

5、商群，拉格朗日定理，四大同构定理。

从这里开始，我们就可以宣布了解基础群论了⋯⋯

二、高级一点的群论（没有想好是不是讲完第一部分之后立即讲⋯⋯可能会退后）

1、群作用

2、置换群表示，凯莱定理，共轭，群的分类方程，西罗定理，交代群

3、群的直积，半直积

4、有限生成交换群

5、合成群列什么的东西

这里开始，大学本科所有的群论知识咱们就基本过完了。

三、环

四、Euclidean domain, PID, UFD

五、多项式环

六、基本群论

七、期待已久的伽罗华理论⋯⋯

然后恭喜你，本科抽象代数学完啦⋯⋯

如果我们还有幸继续，我们就要扔掉Dummit and Foote，回归经典，开始过 Lang 的厚重的 Algebra了⋯⋯这次要从范畴论开始，然后讲些高级的群论，最后一直到无限伽罗华理论。这就已经超越本科了。

如果我们时间充足，真要是把 Lang 整本都过完了，你就成为了传说之代数大神，尽情秒杀别人去吧⋯⋯

Reinier教授：所有搞代数的人，必须把Lang刻进自己骨头里。。。。

这个大纲显然过分乐观⋯⋯争取过完第一部分吧， 哈哈

零部分是稽核论

稽核论：

我们从最基础入手。很多你可能会了，那就当消遣看吧。

一、什么是稽核（Set）？

直观的理解是，稽核就是把一大堆元素（elements）放在一起，组成一个物体，叫做稽核。比如说，{a,b,c}就是一个稽核，里面有3个元素。这里注意，{a,b,c}三个元素的顺序不重要。{a,b,c},{c,b,a}代表的都是同一个稽核。也就是说，对于稽核来说，唯一重要的就是“包含”这个关系，就是看这个稽核到底包含那些元素。只要包含关系明确，那么一个稽核就定义好了。

稽核有子集。比如说，假设我们的稽核是S={a,b,c}，那么{a,b}是一个子集。简单来说，S的子集就是包含S的一部分元素的稽核。S的全部子集如下：

{}空集。这个就是没有元素的**。

{a},{b},{c},这些是只有一个元素的子集

{a,b},{a,c},{b,c}这些是有两个元素的子集

{a,b,c}这个是S自己，不过我们规定这也是子集。

二、稽核基本运算

1、任何两个稽核A，B，它们有交集，并集。假设A有元素{a,b,c},B有元素{a,d,e},那么A并B就是{a,b,c,d,e},A交B就是{a}。我们有时候还有减法A-B,这个是所有“在A中，但是不在B中”的稽核。这里A-B={b,c}

2、假设我们有稽核S={a,b,c}，子集A={a},那么子集就会有补集 A'={b,c},就是S中不在A里面的元素。换句话说，A'=S-A

3、假设我们有两个稽核A，B，那么A*B表示的是所有“有序对”的稽核。这里有序对是指(x,y),其中x在A里面，y在B里面。注意：对于有序对，(x,y) 和 (y,x) 代表不同的元素。

比如说A={a,b,c},B={a,b,d,e} 那么

A*B={(a,a),(a,b),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,d),(c,e)}

这里有一个神奇的现象：如果A有3个元素，B有4个元素，那么A*B有3*4=12个元素。

三、关系，等价关系，等价类，函数，稽核的幂

什么是从A到B的函数f呢？我们的直观理解是，f就好像一个机器，你往里面塞一个A的元素a，它就给你一个B的元素b。

下面我们将一步步得到一个重要的对于函数的理解：函数f是一种特殊的A*B的子集。

1、关系（relation）。一个A和B的关系，符号~,就是一个A*B的子集。给出任意A的元素a和B的元素b，我们说 a~b当且仅当（a,b）这个有序对在子集~里面。

举一个最简单的例子，比如说A是所有整数。那么“相等”就是一个A和A的关系。这个子集包含所有长得像(a,a)这样的有序对。换句话说，子集 = 就是 {(a,a) | 任意a属于A}我们说a=b当且仅当(a,b)属于 = 这个子集。

“大于”也是A和A的一个关系。> 这个子集是{(a,b)| b-a 是正整数}。显然a>b 当且仅当(a,b) 有序对在 > 这个子集里面

最后一个例子，A代表所有男人的稽核，B代表所有女人的稽核。那么“夫妻”这个关系，显然可以看成是A*B 的子集。

2、等价关系

最重要的关系，总是一个稽核和它自己的关系。我们最喜欢的关系，自然是相等，这里为了避免误解，我们用~表示相等 。相等显然有如下几个性质：（假设S是我们的稽核）

（1）（反身性）任何S的元素a，(a,a)都属于~。或者说，我们总有a~a

（2）（对称性）如果(a,b)属于~，那么(b,a)属于~。或者说，如果a~b，那么b~a

（3）（传递性）如果(a,b),(b,c)属于~，那么(a,c)属于~。或者说，如果a~b,b~c,那么a~c

符合以上三条性质的关系，叫做等价关系。

等价关系例子非常多。在整数上，同余就是等价关系。在“所有三角形”的稽核中，“相似”就是等价关系。在“所有直线”的稽核上，“平行”就是等价关系。最后，任何稽核中，“相等”永远是等价关系。

等价关系有什么重要的呢？最关键的就是，任何一个稽核上，每当我们有一个等价关系，我们就必然能够得到等价类。

下次讲等价类。

3、等价类和商集

假设Z是整数，我们的等价关系是“同余 mod 3”，符号~。那么我们可以把Z分成3部分：a0={同余于0 mod 3},a1={同余于1 mod 3},a2={同余于2 mod 3}。这三个子集切分得十分工整，彼此没有交集，但是三个稽核又覆盖了整个稽核Z。这样，我们十分美好地把Z“划分”了。这个东西就叫做划分。这时候{a0,a1,a2}叫做商集，符号是 Z/~

定理：任何稽核S，给定一个等价关系 ~，我们一定能够得到一个S的划分，因而得到一个商集 S/~。这里，S/~的元素都是互不相交的S的子集，同时所有这些元素的并集又覆盖了整个S。这些元素叫做等价类。

证明：略。你可以自己试试看。

以上这些东西太过抽象。你能用抽象的方法思维自然好。但是个人以为没有形象的理解，本质上就是没有学懂。下面进行一个形象的概述。

1、稽核的乘积，本质上就是把自然数的惩罚拓展到稽核上来。假设我们有三双鞋，四双袜子。那么一共有多少种搭配？有3*4=12种。给定稽核A，B，那么A*B就好像是所有A的元素和B的元素搭配的**。

这里要注意的是，假设我们有的是A*A，那么我们要把两个A看成是不同的稽核。俗话说就是“把第一个A的元素涂成红色，把第二个A的元素都涂成绿色”，这样两个稽核就完全没有相同的元素了。结果就是，(a,b)和(b,a)代表不同的元素，前一个里面是红a绿b，后一个里是绿a红b。而(a,a)调换位置却仍然代表相同的元素，因为怎么调换都是红a红b。

2、等价关系，等价类，商集，这些都是自然数除法的拓展。看看这个例子：

假设我们有12个包子，4个茴香馅，4个韭菜馅，4个猪肉馅。那么，A可以作为所有包子的稽核。“同一种馅”就是一个等价关系。每种馅的包子就是一个等价类。

一共有几种馅呢？一共有12/4=3种馅。这3种馅就是商集。

但是商集要比除法强大。除法里面，我们要求每份的量都是平均分。商集不需要。比如说，还是假设我们有12个包子，4个茴香馅，5个韭菜馅，3个猪肉馅。那么，A还是作为所有包子的稽核。“同一种馅”仍然是一个等价关系。每种馅的包子还是一个等价类。一共有几种馅呢？3种馅。这3种馅就是商集。

3、自然数减法的拓展，自然是补集这个概念。

4、最后自然数加法也有拓展，叫做不相交并集。比如说A={a,b,c},B={a,b,d}。那么A，B的并集就是{a,b,c,d}。但是，如果去不相交并集，那么操作如下：

把A的元素都涂红，把B的元素都涂绿。然后取并集。这样的话，A里面的a和B里面的a就不同了。不相交并集的结果是，{红a,绿a,红b,绿b,红c,绿d}，元素个数是3+3=6

接下来，我们讲自然数的乘方在稽核上的拓展。这个就需要讲方程

说一下，等价关系和商集这个概念特别重要。所有的数学领域，代数分析拓扑几何全都离不开它，所以必须深刻理解。

现在我们来讲函数。

什么是函数呢？在我的想象中，函数就像一个机器。你给它一个input，它就给你一个output。如果你给它同样的input，那么它永远给你同样的output。换句话说，每一个固定的input，它都会有，并且只有一个固定output。

假设A,B是两个稽核。那么一个函数 f: A->B，是一个A和B的关系。也就是说，f 是一个A*B的子集。但是这个关系有一些特殊的性质。对于任何一个A的元素a，B中都有且只有一个唯一的元素b，使得(a,b)属于f成立。这就是函数。通常我们管这个与a对应的，唯一的b叫做 f(a)。A叫做定义域，B叫做值域，b是a的像，a是b的原像。

所以说看一个关系能不能是函数，关键要看以下两条性质：

1、任何a都有一个像

2、如果x=y，那么f(x)=f(y)。就是说，任何一个元素a都只能有一个像。

在许多数学的领域中，通常见到的证明定理的一种方法，就是构建一个函数，证明函数的性质，然后用函数的性质证明定理。而这时候，十分重要的一步，就是证明你构建的这个函数真的是一个“函数”，而不是一个普通的“关系”。这个叫证明函数是定义良好的(well-defined)。如果你构建的函数没有定义良好，那么你的证明就一定是错的。证明定义良好的关键，就是验证上面的性质1性质2。

稽核的幂

任何两个稽核A，B，我们可以找到好多好多个从A到B的函数。而把A->B的函数作为元素，所有这些函数的稽核，叫做B的A次方，简写成B^A（这里“^”表示上角标。百度里面打不出来。）为什么这么定义稽核的幂呢？下面进行直观讲解。

假设有3个人买包子，一共有4中馅的包子。假设每个人都会买且仅买一种馅的包子。那么一共有多少种情况？第一个人有4中选择。第二个人有4种选择。第三个人有4种选择。那么一共有4*4*4=64种情况。换句话说，一共有4的3次方种情况。这个是基础的排列组合，我假设你学过。

现在再重新思考这个例子。假设A是人的稽核，B是“包子馅种类”的稽核。每个人都会买且仅买一种馅的包子。这就是说，假设给定一种这些人选择包子的情况。如果我定义一个函数f，f把每个人映射到这个人选择的包子种类，那么f定义良好。

现在，每一种可能的情况，都可以根据这个情况构建函数f，f定义良好。而每一个函数f，都一定对应一种情况。那么，有多少个从A到B的函数呢？一共有4^3=64这么多个。这里注意，A有3个元素，B有4个元素，而B^A有4^3个元素。这就是我们管这个叫做幂的原因。

值得注意的是，从A到B的函数，那么B是底，A是幂，千万别搞反了。忘了那个是那个的时候，回忆一下上面这个例子。

下次讲power set，稽核的cardinality。

对了，忘了讲这个。

函数最重要的分为三类。单射injection，满射surjection和双射bijection。下面我们永远假设f:A->B是一个函数。

单射，又叫一对一 (one-to-one)，意思是说，不同的元素必须映射到不同的像。回忆一下，对于一个定义良好的函数，我们有如果a=b，那么f(a)=f(b)。单射的函数，就是说把这个性质反过来，依然成立。如果f(a)=f(b)，那么必然有a=b。想想逆否命题，你就知道这个的意思就是说，不同的元素映射到不同的像。

满射，又叫映成(onto)，意思是说，B中的任何一个元素，都有原像。也就是说，任何b，都存在a使得f(a)=b。这个很直观。

双射，又叫一一对应。双射的定义就是单射加满射。这是什么意思呢？

考虑一下。一个函数定义良好是说，下面两条性质成立：

1、任何a{A，都存在一个b{B，使得(a,b) { f。以后我用“{”代表属于。

2、任何a=a'两个A中的元素，都有(a,b){f 当且仅当(a',b){f。就是说f(a)=f(a')

现在单射加双射，就是说：

3、任何b{B,都存在a{A，使得(a,b){f

4、任何b=b'两个B中的元素，都有(a,b){f 当且仅当(a,b'){f。就是说b和b'必须有相同的原像。

这也就是说，如果我们把这个函数的方向“调换”过来，比如叫做g，使得对于所有的(a,b){f，我们都有(b,a){g。换句话说，所有的f(a)=b，我们都有g(b)=a，g就是f的反操作。那么性质3性质4等于是说，g是一个定义良好的函数。同理，如果f有一个定义良好的反函数g，那么显然f必须符合性质3性质4，f是双射。

于是我们得到结论：f是双射，当且仅当f有一个定义良好的反函数g。

Cardinality稽核的基数

什么事稽核的基数？简单来说就是元素个数。比如说，A有5个元素，那么A的基数就是5。常见的notation有 card A=5, |A|=5等等。我们这里用后者。

那么基数有什么性质？一个最显然的性质就是，如果A的元素个数比B的元素个数多，那么我们能够显然找到一个满射函数 f:A->B，同时一定能找到一个单射函数g：B->A。比如说，A={0,1,2,3,4}，B={0,1,2}。那么，可以让f(0)=0,f(1)=1,f(2)=f(3)=f(4)=2，显然f满射。同样的，对于任意B里的x，可以让g(x)=x，显然g是单射。

反过来，如果存在一个B到A的单射，显然A的元素至少跟B一样多，只会更多而已。而如果存在A到B的满射，显然A的元素个数必须大于等于B的元素个数。

形象地来想，假设A是鸽子的稽核，B是洞的稽核。每个鸽子住进一个洞里。那么f(鸽子)=鸽子进的洞，这显然是一个定义良好的函数。假设f满射，那么就是说，每个懂至少有一个鸽子。显然鸽子个数大于等于洞。反过来，g(洞)=洞里边最左边的鸽子。假设g定义良好，那么显然是单射，同时鸽子个数必须大于等于洞。

把这个想法推广到有无限个元素的稽核，总结如下：

定义：我们说|A|>=|B|，当且仅当寻在f:A->B满射，当且仅当存在g:B->A单射。后面这两个statement永远互为充要条件。

注意：1、这个定义既适用于有限个元素的稽核，也适用于无限个元素的稽核。所以两个无限个元素的稽核也可以比较大小。

2、这个定义假设了选择公理。至于选择公理是什么，耐心等我写科普吧⋯⋯你可以先忽略这个

定义：我们说|A|=|B|，当且仅当存在f:A->B双射。那么显然，根据定义，|A|=|B|当且仅当|A|>=|B| and |B|>=|A|。

例子：

1、整数和偶数一样多。f(x)=2x是一个从整数到偶数的双射。

2、奇数和偶数一样多。f(x)=x+1是一个从整数到偶数的双射。

3、以上这些东西都和自然数一样多。以后管自然数稽核叫做N。

4、任何A的子集B，都有|A|>=|B|。原因是存在f:B->A单射。这个f很好构建，让f(x)=x就可以了。

5、任何A的商集B，都有|A|>=|B|。原因是存在f:A->B满射。这个f很好构建，规定f(x)是包含x的等价类就可以了

notation：以后，凡是等价类，我们用[x]代表那个包含x的等价类。

接下来看些好玩的：

Prop1。任何无穷稽核A，都有|A|>=|N|。换句话说，自然数是最小的无穷稽核。

proof：无穷稽核的定义，就是说，如果我们罗列所有元素，像{a_1,a_2,a_3,….}，这样永远也罗列不完。这样我们就得到了一串数列{a_1,a_2,a_3,….}。下面定义f:N->A，使得f(n)=a_n。这显然是单射。所以|A|>=|N|。

定义。和自然数个数一样多的稽核，叫做可数稽核。比自然数个数还要多，则叫做不可数稽核。

Corollary。任何可数稽核的无穷子集都可数。

Corollary。质数稽核都是可数稽核。

Prop2。任何稽核，这个稽核可数当且仅当可以找到一个数列{a_1,a_2,a_3,…..}使得所有元素都出现在这个数列的某处。

Pf：假设A可数。那么存在双射f：N->A。那么我们管f(n)叫做a_n。于是就得到了数列{a_1,a_2,a_3,….}

假设A有数列{a_1,a_2,a_3,….}枚举了所有元素。那么定义f(n)=a_n。显然f是个双射。所以A可数。

Prop3。假设我们有可数个稽核A1,A2,A3,A4,….,每一个都是有限稽核。那么所有这些稽核的不相交并集是可数稽核。

Pf：先枚举A1的所有元素，然后枚举A2，然后枚举A3，以此类推。这样，我们就得到了一个数列。由于每一个**都是有限的，随便任意挑一个元素，这个元素都会在有限步之内被列举出来。所以说，这个数列包含了所有的元素。所以这个稽核可数。

Prop4。假设A，B可数，那么稽核的乘积A*B可数。

Pf：不妨假设A，B都是N。那么任何A*B的元素都形如(a,b)。现在，让S_n={(a,b) | a+b=n}。那么对于每个n，S_n都是有限个。而一共有自然数这么多个S_n。所以A*B作为这些S_n的并集，是可数的。

Prop5。整数Z是可数稽核。

证法1：找到数列{0,1,-1,2,-2,3,-3,…..}

证法2：首先，N*N是可数的。现在，我宣称Z是N*N的商集。我们规定等价关系(a,b)~(c,d)当且仅当在自然数中a+d=b+c。现在，根据我们定义的等价关系，让a-b代表(a,b)的等价类。我们有a-b=c-d当且仅当在自然数中a+d=b+c。不难看出，这个等价关系的商级就是整数稽核。作为可数稽核的商集，Z必须可数。

下面这个好玩。

Prop6。有理数稽核Q是可数的。

Pf：首先，Z*（Z-{0}）是可数的。现在，我宣称Q是Z*(Z-{0})的商集。我们规定等价关系(a,b)~(c,d)当且仅当在整数中ad=bc，然后让a/b代表(a,b)的等价类。那么显然我们有a/b=c/d当且仅当在整数中ad=bc。不难看出，这个等价关系的商级就是有理数稽核。作为可数稽核的商集，Q必须可数。

作业：证明以上Prop5，6中的关系的确是等价关系，商集的确分别是Z和Q。

下次讲Power group和实数的cardinality。然后我计划回归群论。