3.线性方程组求解及解的结构的几何理解与认识

3.1线性方程组求解方法

求解线性方程组Ax=b通常有两大类方法，即直接法和迭代法。

1）采用高斯消元法可以有效地消除线性方程组中的未知量，这样可以大大减少方程组的复杂度，从而有效地解决问题。采用直接法，我们可以利用有限次迭代，精准地找出Ax=b的最佳结果。然而，当系数矩阵A的阶变得非常高，这会导致计算量变得非常巨大，尤其是当A变得非常稀疏时，使用高斯消元法会损害它的稀疏性，并且会增加它在计算机中的存储空间。

2）迭代法是一种有效的解决线性方程组问题的方法，它具有存储量小、程序简单、可靠性高等优点，比直接法更适用于解决复杂的高阶问题。通过迭代法，我们可以通过有限次的计算来获取方程组的近似解。这种方法能够在一定程度上降低与真实情况的偏差，因此，我们可以使用这种方法来不断地推导出更接近真实情况的结果。换句话说，当迭代次数达到一个特定的阈值时，我们的结果将能够满足求解问题的需求。

3.2.线性方程组解的几何意义

设三元线性方程组为

{█(a_11 x+a_12 y+a_13 z=b_1@a_21 x+a_22y 〖+a〗_23 z=b_2@a_31 〖x+a〗_32 y〖+a〗_33 z=b_3 )┤ (1)

系数矩阵为A，增广矩阵为A ̅

方程组(1)所对应的齐次线性方程组为

{█(a_11 x+a_12 y+a_13 z=0@a_21 x+a_22y 〖+a〗_23 z=0@a_31 〖x+a〗_32 y〖+a〗_33 z=0)┤ （2）

当R(A)<R(A ̅ )时，方程组（1）无解，此时三个平面没有公共点；

当R(A)=R(A ̅ )=3时，方程组（1）有唯一解，此时三个平面相交于同一个点；

当R(A)=R(A ̅ )=1时，方程组（2）的解空间S的秩R(S)=2，且基础解个系中含有两个解向量，设为ξ_1=(█(x_1@y_1@z_1 ))，ξ_2=(█(x_2@y_2@z_2 )).则其通解为R_1=λξ_1+uξ_2.显然，此为过原点的平面参数方程为参数。设其平面为π_1，则ξ_1，ξ_2.为平面π_1的方位向量。若方程组（1）的一个特解为γ_0=(█(x_0@y_0@z_0 ))，则方程组（1）的通解为R_2=λξ_1+uξ_2+γ_0，这是一个过点M=(x_0,y_0,z_0 )的平面参数方程。设此平面为π_2，而ξ_1，ξ_2仍为平面π_2的方位向量，所以平面〖π_1∕∕π〗_2（见图1）

当R(A)=R(A ̅ )=2时，方程组（2）的解空间S的秩R(S)=1，且基础解系中含有一个解向量，设为ξ=(█(x_1@y_1@z_1 ))，其通解为R_1=λξ，此为过原点的直线参数方程（λ为参数）。设此直线为l_1，则ξ为直线l_1的方向向量。若设方程组（1）的一个特解为γ_0=(█(x_0@y_0@z_0 ))，则方程组（1）的通解为R_2=λξ+γ_0，这是一条过点M=(x_0,y_0,z_0 )的直线参数方程。设此直线为l_2，则ξ仍为直线l_2的方向向量，所以直线l_1 〖∕∕l〗_2（见图2）

图 1 平面〖π_1∕∕π〗_2 图 2 直线l_1 〖∕∕l〗_2

3.3齐线性方程组解的判定

显然 齐次线性方程组的解，即齐次线性方程组一定有解。那么除了零解之外是否还存在非零解?

定理2：设A是 矩阵,齐次线性方程组 有非零解的充要条件是r(A)<n，亦即A的列向量线性相关。

证明：先证充分性，因为A的秩小于n，所以A的n个行向量组线性相关。当n=1时，A只有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而 .当n>1时，知阵A中有一行是其余各行的线性组合。从这一行依次减去其余各行的相应的倍数，这一行就全变成零，由行列式的性质可知 。

再证必要性，对n作数学归纳法。当n=1时，由 可知A的仅有的一个元素就是零，因而A的秩为零。

假设结论对n-1级矩阵已证，现在来看n级矩阵的情形。我们以 代表A的行向量。检查A的第一列的元素 ，如果它们全为零，那么A的列向量组含有零向量。当然秩小于n。如果这n个元素中有一个不为零，警如说 ，那么从第二行直到第n行减去第一行的适当的倍数，把 消成零。

3.4齐次线性方程组解的结构的讨论

设 是AX=0的解，k是任意常数，则

性质1 是AX=0的解

性质2 是AX=0。

性质3若 是AX =0的解,则其线性组合 也是AX=0的解。

证明:∵

∴

故 ， 是AX=0的解

由性质1可知，齐次线性方程组的全体解向量所组成集合，关于向量的加法运算和数乘运算是封闭的。

3.5非齐次线性方程组解的结构的讨论

定理8 如果 是方程组的一个特解，那么方程组的任一个解 都可以

表成

其中 是导出组的一个解。因此，对于方程组的任一个特解 ，当 取遍它的导出组的全部解时，就给出其他方程的全部解。

证明：显然 ,有上面的1， 是导出组的一个解,令 就得到定理的结论。

该定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。导出组是一个齐次方程组，在上面已经知道，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解：如果 是方程组的一个特解， 是其导出组的一个基础解系，那么任一个解y都可以表成