“区间篮捕捉最值虫”——二次函数最值问题

二次函数的最值问题是中考压轴题的常见考点，一般情况下，给定区间后，最值问题分成两种情况：顶点在区间内与顶点在区间外。顶点在区间内比较好解决，最值即顶点纵坐标值，顶点在区间外，则相对麻烦，需要根据抛物线开口方向判断函数增减性，取区间端点值比较。

题目

如图，点A，B，C都在抛物线y=ax²-2amx+am²+2m-5（其中-1/4<a<0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4.

(1)填空：抛物线的顶点坐标为___________(用含m的代数式表示)；

(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示)；

(3)若△ABC的面积为2，当2m-5≤x≤2m-2时，y的最大值为2，求m的值.

解析：

(1)虽然函数表达式中的字母参数较多，但并不影响将其化为顶点式，y=a(x-m)²+2m-5，于是可看出顶点坐标为(m,2m-5)；

(2)本题难点之一，常规思路中，欲求三角形面积，必先知底与高，而底AB=4，于是仅需求出高即可。过点C作AB边上的高，交AB延长线于点D，如下图所示：

题目条件中的∠ABC=135°，很容易得到等腰Rt△BCD，于是设CD=h=BD，抛物线对称轴为x=m，加上AB=4，于是分别得到点A和点B的横坐标为m-2和m+2，代入其中一个至二次函数解析式，可表示出它们的纵坐标为4a+2m-5，即B(m+2，4a+2m-5)，接着可写出点C坐标为(m+2+h，4a+2m-5-h)，再次代入到二次函数解析式中，得到ah²+4ah+h=0，由于h≠0，因此h=(-4a-1)/a，现在可以表示出△ABC的面积S=-8-2/a；

类似的解法还可以延长CB，与对称轴交于点F，再连接AF，同样可得到等腰Rt△ABF，需要注意的是，要根据对称性证明这个结论，如下图：

可表示出点F的坐标，进而表示点C坐标，再代入二次函数解析式，可达到同样目的，有兴趣可以推导一下；

(3)给出△ABC的面积，我们可求得a=-1/5，接下来，就是对取值范围的理解了，二次函数的最大值，在没有取值区间限制时，通常是其顶点纵坐标，但在有区间限制时，便要考虑区间端点的值了。这个区间范围，两端的值分别为2m-5和2m-2，它们相距3个单位，是个定距，于是我们可以将它们看作x轴上一条定长线段，位置可移动，相对的，抛物线的对称轴就有可能出现三种情况：对称轴在区间左、区间内、区间右，如下图：

分别就这三种情况进行讨论：

①m<2m-5，此时m>5，当x=2m-5时，y有最大值2，代入二次函数解析式中，求得m=10+2√10；

②2m-5<m<2m-2，此时2<m<5，当x=m时，y有最大值2，直接用顶点坐标，求得m=3.5；

③2m-2<m，此时m<2，当x=2m-2时，y有最大值2，代入二次函数解析式中，求得m的值不符合条件；

综上所述，m=3.5或10+2√10；

解题反思：

本题第2小题难度颇高，含参数的方程会“吓退”一部分学生，而在第3小题中，对有区间限制的二次函数最值方法理解不到位，也可能会导致学生出现困难。在讲解过程中，可以将区间看成一个篮子，去捕捉那只最值虫，篮子可动，虫子终会捉住。