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文 | 彭翕成

天之道，损有余而补不足；

人之道，损不足而益有余。

——《老子》第七十七章

我的理解是，自然界的法则是减损多余的，补充不足的，平均化。社会法则则相反，有的让其更多，没有的让其更少，差距增大。譬如自然界削平高山，填平低谷，促成均衡；而社会则是强者愈强，弱者愈弱，形成马太效应。

（ps.很多人知道“天之道，损有余而补不足”，是因为金庸将之写进了《九阴真经》）

老子就是个二分法的高手，一分为二地看待世间万物，所著《道德经》处处都闪烁着辩证法的光芒。宋代理学家朱熹更是将二分法推至极致，他认为一切事物都是由对立物组成，进而提出对立的双方是由“一”化分出来，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，“一分为二，节节如此，以至于无穷，皆是一生两尔。”

在数学中提到二分法，最先让人想到的可能是二分法求根。先判定其有解，然后每次取半，逐步逼近，终得正果。如图所示的二叉树充分体现了二分法的思想，从一条线段的一个端点再作两条线段，新作线段的长度和原来的线段成比例，并且和原来线段成一定角度。继续在两条新作的线段的另两个端点处分别又各作两条线段。如此继续，使线段的数目成倍增长。不久，即成树形。

上与下相对。如果是从上往下一分为二呢？请看英国科学家高尔顿设计的经典概率实验。从上端放入一小球,任其自由落下。在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等，碰到下一排钉子时又是如此，最后落入底板中的某一格子。问题求解与杨辉三角有关，而杨辉三角与二分法也有莫大的关系。

高尔顿研究范围很广，涉及包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、统计学等方面，称之为百科全书式的人物一点都不过分。八卦一句，他是达尔文（就是写《物种起源》的那一位）的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。

高尔顿很喜欢调查统计，并分析原因，从中找出规律。譬如调查了30家有艺术能力的家庭，发现子女也有艺术能力的占 64%；而150家无艺术能力的家庭，其子女中只有21% 有艺术能力，因此断言艺术能力这种“特殊能力”是遗传的。当然高尔顿还有其他很多类似的统计，并不只是单单这一个。在这些统计结果的基础上，高尔顿从遗传的角度研究个别差异形成的原因，开创了优生学。

父母个子高的，子女一般个子也高；父母个子不高的，子女个子也不高。这是我们普遍认可的一种看法。若仅停留于此，也不足为奇。

高尔顿收集分析了400名家长和他们的900多名成年子女的身高，发表论文《遗传中身高的均值回归》，得出了结论（如图所示）：当父母的身高大于平均水平时，他们的子女往往会比他们矮；当父母的身高小于平均水平时，他们的子女往往会比他们高。这项研究表明，上一代人身高差异较大，遗传之后身高差异将减少，也就是事物经过时间推移，将变得更平均、更稳定。高尔顿因此提出了“均值回归”这个概念。现在知道回归分析是怎么来的了吧。

从老子的损有余而补不足，到高尔顿的均值回归，思想上有相通之处。相对于老子的宏观叙述，高尔顿充分利用数据分析的方法，使得结论更加有理有据。

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本文摘自《数学人的逻辑》，清华大学出版社2016年即将出版。作者彭翕成，著作十余部，论文百余篇。热衷数学科普写作，由浅入深，娓娓道来，又能平中见奇，展现给人新的视角，其博文在网络上影响甚大，读者众多。

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