上篇文章我们讲了从一元二次方程到一元四次方程，都是存在公式解的。就是之前的数学家们已经将四次（包含四次）以下的方程研究非常透彻，大家在求根的时候，直接使用现成公式就能解答。而五次以上方程被数学家伽罗瓦给证明了不存在一般代数公式解法。但很明显，也很容易就能知道，有些高次方程的根是存在的，只是数学上证明出了没有统一的公式解，一个不同的五次方程解法可能各不同。这样随着次数增加，难度将非常大。

五次方程

随着进一步研究，大家发现高次方程求精确根是非常困难的。学过高数的同学肯定马上想到，既然精确根很难，那就只能是无穷逼近了。没错的，17世纪牛顿提出的一种使用很简单的近似求解方程方法。而这套方法无论方程的次数多高，只是增加运算量而已，复杂度并没有提升。这种办法以他自己名字命名----牛顿迭代法。

牛顿迭代法也很简单，主要是使用函数f(x)的泰勒级数前几项来寻找方程f(x) = 0的近似根，而这种方法好处是可以让方程f(x) = 0在根附近快速收敛（意味着能快速出结果）。另外我们知道泰勒级数是无穷项的，到底使用泰勒级数的前几项呢？因为前几项占很大比重，具体计算用多少项，完全有精度来决定，一般取前5项，就能保证常用精度。

具体方法就是：设r是f(x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0,f(x0)）做函数曲线y=f(x)的切线，切线方程为：

求出切线与x轴交点的横坐标 x1：

我们称x1为r的一次近似值，当然精度是非常差。继续过点（x1,f(x1)）做函数曲线y=f(x)的切线，并求出切线与x轴交点的横坐标 x2：

称x2为r的二次次近似值，当然精度还是不够。继续重复以上过程，得到r的近似值序列：

称为r的n+1次近似，这就是牛顿迭代法。从算法上看，简单但需要重复计算，精度可以由迭代次数决定。非常适合程序上使用。

下面来看看我们文中那个五次方程如何用这种办法来求根。这个五次方程很特殊，可以化简来解的，这里只是给大家展示一下算法。我们先假设它的根x0为2，这个数可以随便假设，只是假设离实际根越接近，迭代次数很少的情况就能保证高精度。离实际根越远，需要迭代次数越多，这个很容易理解的。

从上面计算可以看出，每次计算都更加逼近实际根，所以初始值的选择影响到迭代次数。这里只计算了4步，有兴趣朋友可以继续计算，数值会逼近于1，而1正是这个方程的一个根。在得到其中一根后，就可将其化成低次多项式方程，剩余的根一定在这个低次多项式方程中，就很容易计算出来其他根了。

好了，现在已经将高次方程如何快速求根的方法讲给了大家，这也是我们能利用计算机软件（例如MATLAB）快速求解的方法之一。如果大家有兴趣，可以翻阅更多工程数学的书籍来进一步了解，甚至可以使用C语言编写一个代码来验证一下。

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