极限的运算法则，主要是建立四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限。

定理1 两个无穷小的和是无穷小

证明：设α及β是当x->x0的两个无穷小，而γ=α+β， ∀ ε>0, 因为α是当x->x0时的无穷小，对于ε/2>0,∃δ1 > 0, 当0<|x-x0|<δ1时，不等式|α|<ε/2成立，又因β是当x->x0时的无穷小，对于ε/2>0, ∃δ2 > 0, 当0|x-x0|<δ2时，不等式 |β|<ε/2成立，取δ=min{δ1,δ2|, 则当0<|x-x0|<δ时，|α|<ε/2及|β|<ε/2同时成立，从而|y|=|α+β|≤|α| + |β|≤ε/2+ε/2=ε, 所以γ也是当x->x0时的无穷小。

推论：有限个无穷小之和也是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积之和也是无穷小

证：设函数u在x0的某一去心领域U(x0, δ1)内是有界的，即∃ M>0，使|u|≤M对一切x∈U(x0, δ1)成立，又设α是当x->x0时的无穷小，即 ∀ε>0, ∃δ2>0，当x∈U(x0, δ2)时，有|α|<ε/M。

取δ=min{δ1, δ2}, 则当x∈U(x0, δ)时，|u|≤M 及 |α|<ε/M同时成立，从而|uα|=|u| * |α|<M * ε/M = ε, 所以u * α是当x->x0时的无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3 如果lim f(x) = A, lim g(x) = B, 那么：

1 lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x)±lim g(x) = A±B;

2 lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x) = A * B;

3 如果B≠0， 则lim(f(x) / g(x)) = limf(x) / lim g(x) = A/B

推论1 如果lim f(x) 存在，而c为常数，那么 lim [c * f(x)] = c lim f(x). 就是说，求极限时，常数因子可以提到记号的外面，这是因为lim c = c;

推论2 如果lim f(x)存在，而n是正整数， 那么lim [f(x)]^n = [lim f(x)]^n，这是因为 lim[f(x)]^n = lim[f(x) * f(x) * ... * f(x)] = lim f(x) * lim f(x) * ... * lim f(x) = [lim f(x)] ^ n。

定理4 如果 f(x) ≥ g(x), 而lim f(x) = A, lim g(x) = B, 那么A≥B

证 令t(x)=f(x)-g(x), 则t(x)≧0, 有lim t(x) = lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = A-B， 所以A-B≥0 => A≥B

定理5 复合函数的运算法则

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim g(x) = u0(x->x0), lim f(u)=A (u->u0), 且存在δ0>0,当x∈U(x0, δ0)时，有g(x)≠u0, 则lim f[g(x)]=lim f(u) = A。