题目1：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，且AC=AD，连接CD，过点D作DE∥BC，DE交AC于E，F为CD中点，连接AF、EF。

求证：（1）∠AFE=∠B；（2）AF•BD=BC•EF。

解题思路：因DE∥BC，故∠ADE=∠B，DE⊥AC。

又因AC=AD，F为CD中点，故AF⊥DC。

易证A、E、F、D四点共圆（详见四点共圆的几种判断方法），∠AFE=∠ADE，则

∠AFE=∠B成立。

易证△AEF∽△CDB，则

EF/BD=AF/BC,故

AF•BD=BC•EF成立。

题目2：如图1，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO。求证CD=GF。

解题思路：过G点作GH⊥AB，垂足为H，连接EO，显然EO=CO（图2），图中找到四个似乎相似的Rt三角形，由此有了解题思路。

易证G、E、F、H四点共圆，∠GFO=∠GEO，

Rt△GEO∽Rt△HFG，则

FG/EO=HG/GO;

Rt△GHO∽Rt△CDO,则

CD/CO=HG/GO，故

CD/CO= FG/EO，因EO=CO，

故CD=GF成立。

题目3：如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足。求证E、B、C、F四点共圆。

解题思路：图2中易证A、E、D、F四点共圆，

∠AEF=∠ADF=∠ACB，在四边形EBCF中，有外角∠AEF等于其内对角∠ACB，符合四点共圆的判定标准，故

E、B、C、F四点共圆成立。

题目4：题目：如图1，O为△ABC内一点，BO、CO的延长线分别交AC、AB于D、E，如果BE·AB+CD·AC=BC²，求证A、D、O、E四点共圆。

解题思路：在BC上取点F，连接EF、DF，使∠CDF=∠CBA=θ（图2），易证△CBA∽△CDF，

则∠DFC=∠BAC=β；

CD/BC=CF/AC=DF/AB,

AB/AC=DF/CF……………①;

CD·AC= BC·CF。

已知BE·AB+CD·AC=BC²，即

BE·AB+ BC·CF =BC²，

BE·AB= BC²- BC·CF=BC（BC-CF）=BC·BF，

BE/BF=BC/AB,

在△CBA和△EBF中，∠CBA=∠EBF，则

BE/BC=BF/AB=EF/AC,

AB/AC=BF/EF…………②。 对比①和②式得：

DF/CF= BF/EF，即DF/BF= CF/EF。

易证△EFC∽△BFD，∠BDF=∠ECF=α。

故∠BDC=∠BDF+∠CDF=α+θ,

∠AEC=∠CBA+∠ECB=α+θ,

在四边形AEOD中，∠AEC=∠BDC，即四边形AEOD的外角BDC等于其内对角AEC，则

A、D、O、E四点共圆成立。

题目5：如图1，在△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。求证：∠AHD=∠AHE。

解题思路：图2中有多组四点共圆图形，有用的有：

易证A、D、T、H四点共圆和A、T、H、E四点共圆，则∠AHD=∠ATD=θ，∠AHE=∠ATE=α。

因AT是∠BAC的平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC，则

∠ATD=∠ATE（轴对称图形），

故∠AHD=∠AHE成立。