昨天的文章里，一堆恼人的山楂让我们抓狂，今天，咱们来威风一把。咱们试着当一当汉高祖刘邦的手下大将——韩信，今天，韩信的任务是：点兵。

古代士兵玩偶

问题是：如果韩信带了一小队士兵，第一次3个人站一排，不足3个人时，将余数记下来；第二次5个人站一排，不足5个人时，将余数记下来；最后7个人站一排，不足7个人时，将余数记下来。然后，根据每次的余数，就可以知道有多少士兵。

古代士兵雕像

咱们将韩信、士兵这些元素去掉，将它变成一个数学问题。如果说，一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，除以7的余数是5，那么，这个数是多少呢？这个题目，看起来是很难的。可是，聪明的古人早就找出了解决的办法。

孙子算经

最初记载这个算法的，是一本名叫《孙子算经》的书，其实，这个问题在数学史上是非常有名的，一般人将它称之为“中国剩余定理”，也叫“孙子定理”。至于它的算法，流传着这样一首歌诀。

“韩信点兵”的计算方法歌诀

这是什么意思呢？就是说，凡是用3除剩下的余数，将它乘70，用5除的余数乘21，用7除的余数乘15，将这些数加起来，如果比105大，就减掉105，如果还是比105大，那就再减105，直到得数比105小为止。

拜将台

咱们来算算我开始提出的那个问题。2*70+1*21+5*15=236，236-105-105=26。算一下，是不是26除以3余2，除以5余1，除以7余5呢？没错！其实，236也满足这个条件，236-105=131也满足这个条件。不过，这是为什么呢？

数学有意思

咱们再来想想，为什么“韩信点兵”要用3、5和7这三个数呢？用别的数行不行？“中国剩余定理”的原理是什么呢？我们来试着将这个问题变成纯粹的数学问题，实际上就是，假设一个数是m，它被3除余x，被5除余y，被7除余z，这个数最小是多少呢？

宋朝数学家秦九韶

如果按照“韩信点兵”的办法，实际上就是，第一步，求m=70x+21y+15z，第二步，如果m比105大，就减去105或者105的若干倍，直到结果比105小。如果取x=1，y=2，z=3，那么m=70*1+21*2+15*3=157。157-105=52，52就是得数了。

快乐数学

我们拿上面这个例子，来说说为什么可以这样解题。问题的关键在于，歌诀里的70、21、15、105这四个数，和3、5、7之间的关系。为什么要选70呢？咱们来看，它非常特殊，你有没有发现，第一，它是5和7的公倍数，第二，它除以3的余数正好是1，70=3*23+1。

数字里藏着什么秘密呢？

继续来看，21这个数呢，你一定发现了，它是3和7的公倍数，而且，它除以5也余1，15呢？它是3和5的公倍数，而它除以7，正好也是余1！而105呢，它正好是3、5、7的最小公倍数！谜底似乎就要揭开了！按照我开始的设定，咱们可以从下图看出其中的道理。

列式计算

可以看出，m-105除以3的余数，确实是x。同样的道理，可以算出m-105除以5的余数是y，除以7的余数是z。是不是就得出答案了呢？不过，尽管知道了答案，喜欢刨根问底的人又会说，5和7的公倍数为什么要满足除以3余1呢？同样的道理为什么要适合另外两个数呢？

韩信塑像

这个问题问得非常好！咱们观察一下，其实，3、5和7这三个数，互为互质数，也就是说，这三个数的最大公约数是1。咱们观察一下上面的等式，就能发现，其中两个数的公倍数去除另一个数余1，会使得等式成立。

有意思的数学

好了，咱们再看看，如果不用3、5、7这三个数，能不能使用“韩信点兵”的方法呢？我找出2、3、5三个数，它们互为互质数。与3、5、7相对应的70、21、15和105，在2、3、5这里是多少呢？答案是15、10、6和30。看一看，是不是符合之前的条件呢？

新的“韩信点兵”

咱们来试着算一下，如果一个数，用2除余1，用3除余2，用5除余3，这个数是多少呢？用咱们得到的数字15*1+10*2+6*3-30=23，23除以2余1，除以3余2，除以5余3，正好！所以，咱们找的数正是23。