矩阵的初等行变换和初等列变换，统称矩阵的初等变换。

下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。

1 对调两行（列）

2 以数k≠0乘某一行（列）的所有元素

3 把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去。

一次初等变换对应着一个初等矩阵。

比如：

上图是左乘初等矩阵，结果是交换了第一行和第二行。左乘的这个矩阵可以看作是由单位矩阵交换两行得到。

上图是右乘初等矩阵，结果是交换了第一列和第二列。右乘的这个矩阵可以看作是由单位矩阵交换两列得到。

那么，为什么规定初等矩阵只能是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵呢？

看下面几个定理：

再看下面的例子：

由以上定理和例子可以看到，矩阵变换的每一步，都可以用一个初等矩阵记录下来。

再看下面的矩阵：

这个矩阵相当于先把矩阵的第一行加到第三行，再把矩阵的第一行和第二行交换，这就不是初等矩阵了。如果用这个矩阵左乘矩阵A，就相当于先把A的第一行加到第三行，再把A的第一行和地三行交换。

初等矩阵是可逆的，因此不管对一个初等矩阵进行多少次初等变换，都不会改变原初等矩阵的可逆性质。

由此可见，个人认为，规定初等矩阵由单位矩阵进行一次初等变换得到，在于可以准确地记录矩阵变换的每一个步骤。