1. 什么是“域”

伽罗瓦提出一种名为“有限域”（finite field，日语将其称为“有限体”）的理论。在为大家做具体介绍之前，我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识，想必大家一定已经发现了，学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1, 2, 3, ……，然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数，再后来又学习了 −2、-5 等负数。

接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等，像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。

数自身不断进化，其种类也不断增加。这究竟是为什么呢？当然是为了方便计算。

当大家只了解自然数 1, 2, 3,…… 的时候，虽然可以自由地进行加法运算，但却无法随意地进行减法运算，因为较小的数不能减较大的数。想让小数减大数就要创造出新的负数。也就是说，只要将数的范围扩展至负数

…… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ……

就能自由地进行减法运算了。

但是，负数的出现并不能保证除法运算的自由进行，例如，我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数，也就是说，分数是必需的。

包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数，数的范围扩展至此，在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算（不过，0 不能作除数）。

这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此， 可以说全体有理数构成了域，即下列各等式是成立的。

不过，“域”这个字在这里没有什么特殊的含意。无论大家怎么查询都不会找到“域”在数学中的含意。

虽然全体有理数构成了域，但域并非仅指有理数。除有理数之外，还存在无理数。有理数和无理数共同构成了实数，所有实数也构成了域，即下列各等式也都成立。

所有实数都可以自由进行加减乘除运算，因此实数也构成了域。除此之外还有很多个域。

例如，所有具有以下这种形式的数也能构成域。

任意选取两个这样的数进行加减乘除运算，其结果也永远是上面这种形式的数。由此可知，所有具有这种形式的数构成了域。

2. 最小的有限域

以上举出的域只不过是无数个域中的两三个实例，这些域中都包含着无穷多个数。不过，并不是所有域中都一定包含无穷多个数，也存在一些由有限多个数构成的域。

由有限多个数构成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的数学家为伽罗瓦，所以我们也将有限域称为“伽罗瓦域”。

在有限域中，数的个数最少为 2。

这个域就是用 (mod 2) 对整数进行分类时的剩余类。

用 (mod 2) 进行分类后，整数将被分为两类，一是包含 0 的类，即偶数；二是包含 1 的类，即奇数。我们在此假设，所有偶数用 0 表示，所有奇数用 1 表示。

大家可能觉得 1 + 1 = 0 有些奇怪，但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了，或者也可以认为它的意思等同于 1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。

乘法运算的情况如下。

具有上述 + 和 × 的计算规则的 0 和 1 的集合就构成了域。

根据"同余式与等式"一节介绍可知，利用 (mod n) 对整数分类后，- 和 × 等各种运算规则仍然成立。

当然，对于 (mod 2) 应该也成立。

另外，对于非 0 的“数”，也就是 1 而言，其逆元*为 1 本身，所以 ÷1 和 ×1 的结果相同。

* 通常在数学领域它与“倒数”的意思相同，指该“数”乘以“某数”等于 1 时的“某数”。

也就是说，{0, 1} 这个“数”的集合构成了域。

3. 用 (mod 3) 进行分类时的有限域

下面我们来看看 (mod 3) 的情况。

剩余类包含 0，1，2 这三类。加法运算和乘法运算如下表所示。

由该表可知，由于 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1，所以 1 的逆元为 1, 2 的逆元为 2。也就是说，0 以外的数都有逆元，所以 {0, 1, 2} 构成了域。

4. 用 mod 4 进行分类则无法构成有限域

接下来让我们用 (mod 4) 进行分类。剩余类共包含 0，1，2，3 这四类。

根据上表可知，此时 2 · 2 ≡ 0，所以 2 没有逆元。

也就是说，因为非 0 的 2 没有逆元，所以不能构成域。

5. 用 mod 5 进行分类时的有限域

下面让我们来试试用 (mod 5) 进行分类。由于剩余类包含 0， 1，2，3，4，所以加法和乘法表如下。

根据乘法表可知，

由此可知，除 0 以外的其他“数”都有逆元。

6. 若 p 为素数，则剩余类为有限域

至此，我们可以推测出当 n 为素数时，(mod n) 的剩余类能构成个数为 n 的有限域。

事实的确如此。

我们知道，当 p 为素数且用 (mod p) 进行分类时，费马小定理是成立的。

也就是说，对于非 0 的 a 而言，以下同余式恒成立。

在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2)，则

由此可知，a^(p-2) 是 a 的逆元。

因此，非 0 的 a 确实总是存在逆元。由此可知，相应的剩余类可以构成域。例如 (mod 5)

同理可得

再如 (mod 7)

综上，以素数 p 为 mod 后得到的剩余类能构成个数为 p 的有限域，由此可知 1 个素数有 1 个有限域。然而，由于素数有无穷多个， 所以有限域也有无穷多种类。

7. 根据原根表找出逆元

如果我们手边有原根表，那么就能轻松地找出逆元。例如 (mod 7)。因为原根为 3，所以

由此可知

也就是说，当 3^s 表示逆元时，用 6 减去（原来的数的）指数即可得到 S。

上文节选自人邮·图灵《数学女王的邀请：初等数论入门》, [遇见]已获授权.