高婧 陈龙云 王俊文厦门大学土木工程系

摘 要：马洲大桥为五跨连续中承式钢拱桥，为了得到该桥施工过程中的合理吊杆张拉方案，提出12种张拉方案，基于影响矩阵法对吊杆不同的张拉方案进行计算分析，并结合软件MIDAS Civil对该桥吊杆张拉进行优化。通过对比吊杆张拉力、吊杆力、结构应力和变形，并综合考虑安全性、适用性、施工便捷性原则，最终确定了合理的吊杆张拉工序，以确保桥梁施工中结构变形平缓，受力合理。结果表明，对多跨拱桥采用分两批次分四部分交错对称张拉，吊杆力变化幅值小，可以保证施工阶段安全，成桥后构件应力分布更均匀。

关键词：钢拱桥;吊杆;张拉顺序;影响矩阵法;计算与优化;

基金：国家自然科学基金联合基金项目，项目编号U2005216;中国中铁股份有限公司科技研究开发计划项目，项目编号2020-重点-11;福建省自然科学基金项目，项目编号2020J01010;

系杆拱桥利用系杆平衡了拱肋产生的大部分水平推力，适宜于建造在地基条件欠佳的地区，且在60～200 m跨径范围内极具竞争力[1]。当系杆拱桥结构体系确定后，可以通过改变索力大小，调整整体体系的结构内力重分布，进而优化结构的受力体系[2]。针对斜拉桥拉索的索力优化，在以往的文献中进行了较为深入的研究[3,4,5,6],而关于系杆拱桥吊索索力优化的研究则较少。

目前境内外对斜拉桥索力优化主要有倒拆分析法、正装—倒拆迭代法、正装迭代法和无应力状态法等[5,6,7,8],但是这几种方法都存在一定的局限性，限制了它们在工程中的应用，如倒拆法计算不容易闭合，正装-倒拆迭代法法需反复迭代计算复杂，收敛慢，无应力状态法对误差敏感[9]等。肖汝诚等基于影响矩阵法给出自选目标、权量和约束的斜拉索索力优化方法，该方法使设计者同时获得多种目标的最优索力及其结构内力状态，方便设计者对多种方案进行比选[10]。张文丰等运用影响矩阵的理论，建立了二次调索最优控制的数学模型，并采用惩罚函数法进行求解，采用该种方法不仅能使全桥索力达到目标索力值，还能保证在调索过程中位移的约束条件[11]。然而，由于施工方法的差异，系杆拱桥吊索施工索力的优化与斜拉桥存在较大不同。杨俊提出了基于影响矩阵的综合刚性吊杆法和自动调索法来确定系杆拱桥的合理成桥吊杆索力，通过对一单跨系杆拱桥吊杆张拉施工过程中吊杆内力互相影响的研究，得到了基于影响矩阵的吊杆分阶段张拉的倒拆施工控制方法[2]。但对于多跨系杆拱桥，各跨间吊杆索力相互影响，与单跨拱桥吊杆的张拉方案存在差异。因此，合理的多跨系杆拱桥吊杆张拉方案，需要满足各跨吊杆张拉力、结构的应力和变形相应要求[2]。本文以一座多跨系杆拱桥为背景，基于影响矩阵方法结合有限元软件Midas/Civil计算不同张拉顺序下该桥的吊杆张拉力，并对吊杆张拉方案进行对比，从而确定多跨系杆拱桥吊杆最优张拉方案。

1 基于影响矩阵法的吊杆张拉力计算方法1.1影响矩阵法的计算原理

使用影响矩阵法需要明确初始阶段的吊杆力和张拉后的吊杆力：

{T}i={Ti1,Ti2,⋯,Tin}T         (1){T}e={Te1,Te2,⋯,Ten}T         (2){Τ}i={Τ1i,Τ2i,⋯,Τni}Τ         (1){Τ}e={Τ1e,Τ2e,⋯,Τne}Τ         (2)

式中：{T}i{Τ}i为初始阶段吊杆力；{T}e{Τ}e为张拉后的吊杆力。

张拉吊杆引起的吊杆力改变量记为：

{ΔT}={ΔT1,ΔT2,⋯,ΔTn}T         (3){ΔΤ}={ΔΤ1,ΔΤ2,⋯,ΔΤn}Τ         (3)

若结构满足线性叠加原理，则有：

{T}i+[A]{ΔT}={T}e         (4){Τ}i+[A]{ΔΤ}={Τ}e         (4)

式中：[A]为索力影响矩阵，矩阵中的元素aij表示第j根吊杆力增加单位力时对第i根吊杆力的影响。由式(4)可得吊杆力改变量为：

{ΔT}=[A]−1({T}e−{T}i)         (5){ΔΤ}=[A]-1({Τ}e-{Τ}i)         (5)

1.2吊杆张拉力计算

采用式(5)计算出来的是吊杆力改变量，另外还需考虑先张拉吊杆对后张拉吊杆的影响。张拉第一对吊杆前的吊杆力记为T1i;吊杆张拉时，出现的吊杆力改变量记为a11△T1,则张拉第1对吊杆后的吊杆力为：

Te11e=Ti11i+a11ΔT1 (6)

用Pi表示第i对吊杆的张拉力。由于没有其他吊杆的影响，则第1对吊杆的张拉力为：

P1=Te11e+a11ΔT1 (7)

张拉第n对吊杆时，张拉自身产生ann△Tn的吊杆力改变量，则有：

Tenne=Tinni+annΔTn (8)

但考虑到在此之前已经张拉了n-1对吊杆，先张拉的吊杆对第n对吊杆的吊杆力有影响，也就是说在张拉n对吊杆时，其张拉前的吊杆力已经不再是初始吊杆力Tni了，而是：

Tinni′=Tinni+an1ΔT1+an2ΔT2+…ann-1ΔTn-1 (9)

因此，第n对吊杆的张拉力实际上为：

Pn=Tenne=Tinni+annΔTn

=Tinni+an1ΔT1+an2ΔT2+…annΔTn (10)

由式(10)可知，第n对吊杆的张拉力由两部分组成：(1)张拉前吊杆力Tni',需在初始吊杆力的基础上考虑前n-1对吊张拉杆对第n对吊杆力影响∑k=1nankΔTk∑k=1nankΔΤk;(2)第n对吊杆张拉引起自身的吊杆力改变量ann△Tn,可简写为：

Pn=Tin+∑k=1nankΔTk         (11)Ρn=Τni+∑k=1nankΔΤk         (11)

用矩阵的形式表示为：

{P}={T}i+[C]{ΔT}={T}i+[C]({T}e−{T}i)         (12){Ρ}={Τ}i+[C]{ΔΤ}={Τ}i+[C]({Τ}e-{Τ}i)         (12)

式中：[C]为张拉顺序影响矩阵。如果按从1～n的顺序依次张拉吊杆，则有：

[C]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋱⋯00⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥         (13)[C]=[a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]         (13)

张拉顺序影响矩阵[C]中，行表示受影响的吊杆，列表示施加影响的吊杆。第1对吊杆张拉前的吊杆力就是初始吊杆力，只需考虑自身张拉引起的吊杆力改变量，因此第1行只保留第1列的元素；第2对吊杆张拉前的吊杆力受到第1对吊杆张拉的影响，同时考虑自身张拉引起的吊杆力改变，所以第2行保留第1列和第2列的元素。以此类推，可以构造出不同张拉顺序下的张拉顺序影响矩阵。

如果一次张拉多对吊杆，则在构造张拉顺序矩阵时，除了考虑自身和先张拉吊杆的影响外，还应考虑同时张拉吊杆的影响。

最后可将式(12)简写为：

{P}={T}i+[M]Δ{T}         (14){Ρ}={Τ}i+[Μ]Δ{Τ}         (14)

式中：[M]=[C][A],为考虑张拉顺序的吊杆张拉力影响矩阵；[A]为索力影响矩阵；[C]为张拉顺序影响矩阵；△T为初始吊杆力和张拉后吊杆力差值。

通过MATLAB程序便可计算出张拉力{P},代入有限元模型就可以进行计算。

1.3影响矩阵计算

以上步骤最重要的就是求影响矩阵，可以通过Midas直接求解。根据吊杆的实际张拉情况，给第一对吊杆施加单位力，计算在单位力作用下各对吊杆的吊杆力，记为{A1}={a1,a2,…,an}T,然后去除第1对吊杆的张拉力，再给第2对吊杆施加单位力，计算得到其他各对吊杆的吊杆力，记为{A2}={a1,a2,…,an}T,同理得到{A3}～{An},即可得该桥的影响矩阵为：

A=[{A1},{A2},⋯,{An}]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥         (15)A=[{A1},{A2},⋯,{An}]=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]         (15)

2 有限元模型建立2.1工程背景

马洲大桥为五跨连续中承式钢拱桥，主桥跨径布置为35 m+100 m+150 m+100 m+35 m=420 m, 如图1所示。拱肋矢高分别为33.3 m、20 m以及8 m, 采用平行拱设计，拱轴线为二次抛物线，拱肋中间不设风撑。结构全宽56.6 m, 设计双向十车道以及非机动车道和人行道，如图2所示。全桥共27对吊杆，相邻吊杆间距为8 m, 单侧主纵梁内通长布置6根系杆。次中跨成桥吊杆力为2 800 kN,中跨成桥吊杆力为2 900 kN;系杆安装时初张拉至每根3 300 kN,成桥时每根系杆的系杆力为5 400 kN。

图1 马洲大桥总体布置 下载原图

单位：m

图2 马洲大桥主跨横断面示意 下载原图

单位：m

本桥采用先梁后拱的施工方法，施工工序如下：(1)桩基础、承台和墩柱施工，搭设临时支架，预制桥面板；(2)现场少支架拼主纵梁和大横梁梁段，以及拱梁结合段以下的拱肋及边跨拱肋，搭设拱肋临时支架；(3)支架拼装中跨和次中跨拱肋，拆除拱肋临时支架；(4)安装吊杆、系杆并完成初张拉，拆除临时支架；(5)安装预制混凝土桥面板、施工湿接缝，调整吊杆至成桥吊杆力，施工桥面铺装和附属工程。

如图1所示对拱桥吊杆进行编号。最左边次中跨从左往右分别为B1～B4,中跨从左往右分别为D1～D7,最右边次中跨吊杆从左往右分为为N1～N4。

2.2有限元模型建立

采用Midas有限元软件建立马洲大桥空间有限元模型，如图3所示。其中，拱肋、钢梁、墩台均采用梁单元模拟，吊杆和系杆采用桁架单元模拟，混凝土桥面板采用板单元模拟。全桥共划分节点2 980个，单元5 770个，其中梁单元2 412个，桁架单元322个，板单元3 036个。箱梁内的横隔板仅采用集中荷载模拟其重量。严格按照施工工况划分施工阶段，充分考虑各个施工阶段的荷载。该桥在两侧桥墩处共设4个支座，包括2个双向活动支座和2个单向活动支座。墩底边界采用一般弹性支撑模拟。吊杆与桥面系和拱肋采用刚性连接。

图3 马洲大桥有限元模型 下载原图

3 吊杆张拉方案比选3.1吊杆张拉方案

基于两种常用的张拉方式(依次对称张拉和对称跳张拉),对马洲大桥提出了6种吊杆张拉方案，张拉方案如下。

(1)方案1:

从拱脚向拱顶依次对称张拉，单独考虑每一跨，即D1、D2、D3、D4、B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、N1、N2、N3、N4。

(2)方案2:

从拱顶到拱脚依次对称张拉，单独考虑每一跨，即D4、D3、D2、D1、B7、B6、B5、B4、B3、B2、B1、N4、N3、N2、N1。

(3)方案3:

三跨交错对称张拉，中跨采用跳张拉，即B1、N1、D1、D3、B2、N2、D5、D7、B3、N3、D2、D4、B4、N4、D6。

(4)方案4:

从拱脚向拱顶三跨交错对称张拉，即B1、D1、N1、D2、B2、D3、N2、D4、B3、D5、N3、D6、B4、D7、N4。

(5)方案5:

从拱顶向拱脚三跨交错对称张拉，即B4、D7、N4、D6、B3、D5、N3、D4、B2、D3、N2、D2、B1、D1、N1。

(6)方案6:

将中跨划分为拱脚区和拱顶区，然后和两个次中跨四部分交错对称张拉，即B1、N1、D4、D1、B2、N2、D5、D2、B3、N3、D6、D3、B4、N4、D7。

3.2单批次吊杆张拉方案比选

通过上述的影响矩阵的方法，对吊杆施加单位力求得影响矩阵。通过MATLAB程序计算出张拉力{P},代入有限元模型进行计算，便可以得出吊杆索力和目标吊杆索力。此处吊杆索力指的是每个吊杆张拉完毕时候的吊杆索力。此后，其他吊杆张拉，待所有吊杆张拉完毕后，吊杆逐渐接近目标吊杆索力。计算结果见表1。

表1 单批次张拉方案下的吊杆索力 导出到EXCEL

吊杆编号

目标吊杆索力/kN

吊杆索力/kN

方案1

方案2

方案3

方案4

方案5

方案6

B1

1 706

2 210

1 706

2 315

2 215

1 710

2 250

B2

1 722

2 735

2 715

2 650

2 755

2 755

2 680

B3

1 717

3 017

3 155

3 035

3 015

3 155

2 995

B4

1 729

1 735

3 330

1 728

1 728

3 290

1 755

D1

1 813

2 345

1 810

2 235

2 340

1 820

2 655

D2

1 825

2 868

2 445

2 355

2 895

2 350

2 955

D3

1 855

3 150

2 655

2 995

3 100

2 600

3 085

D4

1 873

2 855

2 835

3 350

2 955

2 830

2 235

D5

1 862

2 221

3 550

3 855

2 285

3 500

2 318

D6

1 845

2 135

3 255

1 915

2 145

3 195

2 227

D7

1 842

1 845

3 770

2 355

1 841

3 680

1 842

N1

1 719

2 225

1 719

2 225

2 280

1 719

1 719

N2

1 762

2 710

2 815

2 315

2 650

2 755

1 892

N3

1 753

2 995

3 180

1 985

2 885

2 955

2 167

N4

1 745

1 745

3 320

2 195

1 745

3 310

2 195

将吊杆张拉过程中各个施工阶段出现的吊杆中最大的力称为最大吊杆力。吊杆张拉方案1～方案6的张拉过程中出现的最大吊杆力分别为3 655 kN、4 115 kN、4 318 kN、3 595 kN、4 055 kN、3 315 kN。结果表明，只有方案1、方案4、方案6的最大吊杆力小于4 000 kN。

由表1可知，方案1吊杆最大索力为3 150 kN,方案2吊杆最大索力为3 770 kN,都大于成桥设计索力值(2 800 kN),但方案1的吊杆最大张拉力比方案2的最大吊杆张拉力小16%。方案1施工工程中的最大吊杆力也比方案2小460 kN,而且方案1中各个吊杆张拉后的吊杆索力比方案2更接近目标吊杆力。因此，可以认为方案1优于方案2,即从拱脚开始向拱顶依次单独张拉每一跨吊杆的方案优于从拱顶向拱脚开始单独张拉每一跨的方案。

分别对比方案1和方案4、方案2和方案5可以发现，同一张拉顺序、不同跨吊杆之前的单独对称张拉和交错对称张拉，均可对吊杆张拉产生影响，但对不同跨之间的吊杆之前的影响并不显著。吊杆力关键位置张拉过程中的最大应力值见表2。由表2可知，多跨交错张拉可以明显减小拱脚的最大应力值。例如，方案1中左次中跨和中跨施工过程中的最大应力分别为265 MPa和280 MPa, 而方案4中相应拱脚的最大应力分别为200 MPa和215 MPa, 最大应力分别减少了25%和23%。所以，可以认为单跨张拉方案4和方案5优于方案1和方案2。

表2 关键截面的最大应力值 导出到EXCEL

MPa

截面

最大应力值

方案1

方案2

方案3

方案4

方案5

方案6

方案7

方案8

方案9

方案10

方案11

方案12

左次中跨拱脚

-265

-255

-205

-200

-192

-202

-118

-112

-95

-98

-95

-99

左次中跨拱梁交点

-116

-102

-95

-118

-110

-120

-47

-65

-48

-49

-66

-50

1/4拱

-105

-118

-112

-115

-120

-116

-60

-72

-62

-63

-75

-61

左次中跨拱顶

-130

-145

-118

-132

-140

-135

-70

-83

-73

-71

-86

-75

中跨拱脚

-280

-265

-210

-215

-207

-200

-120

-115

-95

-103

-99

-92

中跨拱梁交点

-135

-118

-99

-132

-118

-125

-88

-92

-80

-87

-88

-79

1/4拱

-108

-99

-112

-108

-99

-100

-50

-66

-60

-52

-69

-62

中跨拱顶

-115

-125

-135

-118

-123

-108

-70

-79

-69

-72

-78

-68

由前文可知，方案5中最大吊杆力为4 055 kN,大于4 000 kN;而方案4和方案6中的最大吊杆力均小于4 000 kN,因此可以认为方案4和方案6均优于方案5。方案6拱脚最大应力值、最大张拉力和最大吊杆力均小于方案4,因此可认为单批次张拉中方案6最优，即分成四部分三跨交错张拉。

3.3两批次吊杆张拉方案比

将单批次张拉中的方案1～方案6都分成两批次张拉，且张拉方案中两批次的张拉顺序相同，新方案依次确定为方案7～方案12。方案7～方案12张拉过程中出现最大的张杆力分别为2 550 kN、3 155 kN、2 855 kN、2 510 kN、3 035 kN、2 450 kN,均小于吊杆的设计索力。两批次张拉方案的吊杆索力值见表3。

表3 两批次张拉方案下的吊杆索力 导出到EXCEL

吊杆编号

目标吊杆

索力/kN

吊杆索力/kN

方案7

方案8

方案9

方案10

方案11

方案12

第一批

B1

1 080

1 155

1 070

1 255

1 160

1 065

1 225

B2

1 080

1 265

960

1 195

1 265

1 000

1 180

B3

1 080

1 485

1 285

1 515

1 485

1 480

1 455

B4

1 080

1 070

1 580

1 060

1 075

1 050

1 100

D1

1140

1 285

1 135

1 355

1 295

1 180

1 250

D2

1 140

1 450

1 250

1 420

1 460

1 220

1 280

D3

1 140

1 555

1 280

1 520

1 560

1 260

1 380

D4

1 140

1 435

1 340

1 705

1 420

1 330

1 425

D5

1 140

1 557

1 655

1 785

1 550

1 620

1 461

D6

1 140

1 460

1 482

1 180

1 455

1 500

1 250

D7

1 140

1 136

1 565

1 550

1 140

1 540

1180

N1

1 080

1 100

1 080

1 230

1 155

1 080

1 215

N2

1 080

1 280

1 000

1 180

1 250

1 050

1 170

N3

1 080

1 460

1265

1 510

1 450

1 280

1 450

N4

1 080

1 080

1 550

1 080

1 080

1 480

1 080

第二批

B1

1 706

2 090

1 720

2 060

2 090

1 715

2 010

B2

1 722

2 135

2 155

2 165

2 135

2 135

2 090

B3

1 717

2 160

2 310

2 085

2 160

2 285

2 100

B4

1 729

1 720

2 710

1 735

1 720

2 700

1 725

D1

1 813

2 155

1 820

2 235

2 155

1 815

2 055

D2

1 825

2 210

2 155

2 315

2 210

2 120

2 115

D3

1 912

2 245

2 235

2 855

2 245

2 215

2 105

D4

1 873

2 185

2 355

2 455

2 185

2 325

2 155

D5

1 862

2 260

2 650

2 320

2 260

2 680

2 185

D6

1 915

2 215

2 745

2 280

2 215

2 760

2 015

D7

1 842

1 860

2 950

1 890

1 860

2 930

1 845

N1

1 719

2 080

1 719

2 120

2 080

1 719

2 005

N2

1 762

2 125

2 175

2 185

2 125

2 155

2 080

N3

1 753

2 140

2 345

2 105

2 140

2 315

2 110

N4

1 745

1 745

2 715

1 745

1 745

2 690

1 745

通过表1和表3,对比单批次张拉和两批次张拉。不论是在张拉过程中的最大吊杆力，还是张拉后的吊杆索力，两批次张拉都比单批次张拉有显著减小。同时，由表2可知，对于在张拉过程中关键截面施工过程中的最大应力两批次张拉吊杆均比单批次张拉明显减小。

张拉方案6～方案12中，吊杆张拉过程中吊杆的最大吊杆力均小于4 000 kN,而且各最大吊杆力差别并不明显，因此可以认为每一个方案都是可以的。对比方案7和方案8,方案8中的最大吊杆索力2 950 kN大于设计索力值(2 800 kN),而且方案7中的吊杆力比方案8中的吊杆力分布更加均匀，因此可以认为方案7优于方案8。同样地对比方案10和方案11,可以认为方案10优于方案11。

方案9中的最大吊杆张拉力大于设计吊杆力，因此可认为方案7、10和12优于方案9。由表2中的吊杆关键截面的最大应力结果可知，方案10和方案12的最大吊杆应力明显小于方案7的最大吊杆应力，因此可认为方案10和方案12均优于方案7。最后对比方案10和方案12,方案12中的最大吊杆力和吊杆索力更均匀，因此可认为方案12优于方案10,即分为四部分交错对称张拉最优。

4 结语

本文基于影响矩阵法结合有限元软件MIDAS Civil, 对马洲大桥吊杆张拉方案进行对比分析，得出结论如下。

(1)影响矩阵法的简化方法在多跨系杆拱桥的吊杆索力优化中的应用简便有效，可为实际工程施工提供理论基础，使得施工过程更加安全。

(2)多批次张拉与原来施工工序中的单批次张拉相比，虽然施工过程更加复杂，但可以避免张拉过程中的结构应力过大，可有效降低结构应力，使得张拉后应力与成桥应力相当，从而避免成桥后反复调索。

(3)多跨拱桥如果采用单批次张拉，则宜采用方案6即四部分交错张拉方案，可达到设计规范中的要求。

(4)多跨系杆拱桥不同跨之间吊杆的张拉力互相影响比较小。如果单独考虑每一跨，则会在拱脚处产生较大的应力，不利于长期运行。如果设备条件和人员条件许可，则可以采用方案12,即两批次四部分交错张拉的方案，该方案吊杆力变化幅值小，施工过程中受力合理，可以保证施工阶段安全，成桥后构件应力分布更均匀，且接近成桥应力。

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