摘要：做圆周运动的物体，其所受合力产生的加速度和向心力产生的向心加速度关系如何？当做圆周运动提供的向心力和做圆周运动需要的向心力不相等时，其运动轨道将如何变化？天体运动的椭圆轨道可看成是由许多曲率半径不同的圆弧组成的，那么天体在椭圆轨道上运动的加速度和向心加速度又如何呢？这就是笔者要谈论的问题。

关键词： 圆周运动 椭圆轨道 加速度 向心加速度 提供向心力 需要的向心力

在中学物理学习了开普勒行星运动三定律和万有引力定律后，常常会遇到关于地球卫星绕地球的椭圆轨道上运行时，卫星在椭圆轨道的远地点和近地点的加速度和向心加速度比较的问题。向心加速度是研究物体做圆周运动时引入的概念。圆可看成的椭圆的特例，椭圆又可看成是由许多曲率半径不同的圆弧组成的，因此，下面先分析物体做圆周运动的情况，再来研究物体沿椭圆轨道运动的情景。

一. 圆周运动中，加速度和向心加速度的关系。

物体的加速度是根据牛顿第二定求出的物体所受合外力产生的加速度。向心加速度是根据牛顿第二定求出的物体做圆周运动所受向心力产生的加速度。那么做圆周运动的物体合外力产生的加速度和向心力产生的向心加速度又有什么样的关系呢？

如图1所示，做圆周运动物体所受合外力不沿半径方向时，将做变速圆周运动。合外力沿半径方向的分力提供向心力，只改变速度的方向而不改变速度的大小；合外力沿轨迹切线方向的分力，只改变速度大小而不改变速度方向。可见，此时向心力是合外力的一个分力，因此， 向心加速度是物体加速度的一个分加速度。当合外力指向圆心全部提供向心力时，物体将做匀速圆周运动。此时向心加速度就等于物体的加速度。

二. 圆周运动中，外力提供的向心力和运动需要的向心力的关系。

在圆周运动的离心现象分析中，提到了做圆周运动时由外力“提供的向心力”和运动“需要的向心力”的概念。所谓提供的向心力就是物体所受合外力在垂直于速度方向的分力，是由物体受力情况决定的。而需要的向心力就是根据物体做圆周运动的速度和半径求出的向心力，是由物体运动情况决定的。

当，也就是提供的向心力等于需要的向心力时，物体将做圆周运动。如图2所示圆锥摆，绳子拉着物体在水平面内做匀速圆周运动，绳子对物体拉力和物体所受重力的合力提供向心力为，做圆周运动需要的向心力为，它们大小不变，始终相等，即。再如图3所示，绳子拉着物体在竖直平面内做变速圆周运动，绳子的拉力和重力沿绳方向的分力的合力提供向心力为，做圆周运动需要的向心力为，它们大小都不断变化，但大小始终相等，即。

可见，无论提供的向心力和需要的向心力是否变化，只要它们大小相等，物体就做圆周运动。不难推出，提供的向心力产生的向心加速度等于做圆周运动需要的向心加速时，物体做圆周运动。

当，也就是提供的向力小于需要的向心力时，物体将偏离圆周轨道做离心运动，如图4所示，物体将沿轨迹①逐渐远离圆心运动。

特别地，当，即没有力提供向心力时，如图4所示，物体由于惯性将沿圆轨道切线轨迹②飞出。

可见，当提供的向心力比需要的向心力越小，物体的离心现象越明显，偏离圆轨道越厉害。不难推出，当提供的向心力产生的向心加速度比做圆周运动需要的向心加速度越小，物体的离心现象越明显，物体偏离圆轨道越厉害。

三.卫星在圆轨道上和椭圆轨道上运动的加速度比较。

如图5所示，是发射人造地球同步卫星的过程图。 先发射人造卫星到近地轨道①做匀速圆周运动，在A点加速，使人造卫星做离心运动变轨进入椭圆轨道②运动，当人造卫星到达远地点B时再次加速，使人造卫星做离心运动变轨进入预定圆轨道运动③。那么，人造卫星在圆轨道①和椭圆轨道②上过A点的加速度和向心加速度大小关系如何呢？

人造卫星受到的合外力就是地球对它的万有引力，由牛顿第二定律可知，得，可见，人造卫星在圆轨道①和椭圆轨道②上过A点的加速度相同。

人造卫星过A点时，其所受万有引力与速度垂直，万有引力全部提供向心力，因此，人造卫星在圆轨道①和椭圆轨道②上过A点提供的向心加速度大小是相同的。

对椭圆轨道曲线，可看成是由许多曲率半径不同的圆弧组成的，因此人造卫星在椭圆轨道上某点的运动在可看成圆周运动分析。人造卫星过A点需要的向心加速度为，由于人造卫星在圆轨道①上过A点速度小于它在椭圆轨道②上过A点的速度，而人造卫星在圆轨道①上过A点的圆轨道半径小于它在椭圆轨道②上过A点的曲率半径，因此，难于判断人造卫星在两轨道上过A点时做圆弧运动需要的向心加速度大小关系。

不过换个角度思考一下，人造卫星在圆轨道①上过A点万有引力提供的向心力等于做圆弧运动需要的向心力，而人造卫星在椭圆轨道上②上过A点时可看成是从圆轨道①上A点变轨做离心运动进入椭圆轨道②的，也就是此时万有引力提供的向心力小于做圆弧运动需要的向心力，综合上所述，可得出人造卫星在圆轨道①上过A点做圆弧运动需要的向心力小于它在椭圆轨道②上过A点做圆弧运动需要的向心力，因此，人造卫星在圆轨道①上过A点做圆弧运动需要的向心加速度小于它在椭圆轨道②上过A点做圆弧运动需要的向心加速度。

可见，在比较人造卫星的向心加速度时，应分清是外力提供的向心加速度，还是做圆弧运动需要的向心加速度，不能笼统地比较，否则将出现不同的答案。

同理分析, 人造卫星在椭圆轨道②上运动经过B点和在圆轨道③上运动经过B点时，它所受万有引力相同，其产生的加速度也相同。而在圆轨道③上运动经过B点做圆弧运动需要的向心加速度大于在椭圆轨道②上运动经过B点做圆弧运动需要的向心加速度。

四.椭圆轨道上行星运动的加速度

如图6所示，在太阳系中，行星在绕太阳在椭圆轨道上运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。当行星运动到近日点A时，行星所受万有引力方向与其运动速度方向垂直，万有引力全部提供向心力。根据椭圆的几何性质，不难得到，行星在近日点到太阳的距离 ，近日点椭圆的曲率半径。因此，行星在近日点A所受万有引力产生的向心加速度由，得。 行星在近日点运动的向心加速度由，得。

如图7所示，当行星运动到椭圆轨道短轴一端B时，行星所受万有引力在与速度方向垂直的分力提供向心力。根据椭圆的几何性质，不难得到，行星在椭圆轨道B点到太阳的距离，椭圆在B点的曲率半径，。因此，行星在B点所受万有引力提供的向心力产生的向心加速度由，得。 行星在B点运动的向心加速度由，得。

可见，椭圆轨道曲线可看成是由许多曲率半径不同的圆弧曲线构成，行星在椭圆轨道上运动由万有引力提供的向心力产生的向心加速度和运动的向心加速度是不同的，它们的大小关系在行星沿椭圆轨道运动个过程中做周期性的变化。