文 | 杨威

K理论

理论是一个相对较新的数学术语。它的起源可以追溯到20世纪50年代晚期Alexander Grothendieck的工作。Grothendieck用字母‘’代表‘Klasse’，在德语中意为‘类’，这是他的母语；字母‘’在其它地方已经被使用，例如用于函数空间。Grothendieck在代数几何领域工作，这是一个结合代数与几何的思想以深化对两者理解的领域。今天实际上已经有几种理论。最广为人知的可能是拓扑空间的理论，这是由Atiyah和Hirzebruch引入的。这是一个非常强大的概念，与同调密切相关。拓扑理论的早期成功包括Adams解决球面上向量场问题（1962年）和Atiyah-Singer的指标定理（1963年）。

回到Grothendieck，他被认为是20世纪最伟大的数学家之一。他喜欢非常普遍地思考，寻找一个可以包含许多具体例子的共同框架。范畴是一个用来研究普适性的数学概念，其中数学对象与它们之间的指定映射族被放在一起研究。一个基本的例子是有限集合和它们之间的映射。另一个例子是有限维复线性空间和线性映射。

著名的Grothendieck–Riemann–Roch定理以及Grothendieck手绘

在一个范畴中，一些对象可能本质上是相同的，即使它们看起来非常不同，这样的对象被称为同构的。我们可以将本质上相同的所有对象归为一种新类型，称为同构类。在一个范畴中对象的同构类的集合本身就具有重要意义。有时，可以对范畴中的对象（以及同构类）进行二元运算。例如，两个向量空间可以相加以形成它们的直和。在这种情况下，Grothendieck提出研究一个由生成的阿贝尔群，称为，通过形式添加加法以及减法来构建。在有限维复空间范畴的情况下，这意味着从（相同维数的复向量空间是线性同构的）构建。同样重要的是，Grothendieck要求不仅要记住对象的同构类，还要跟踪不同同构对象如何被区分。在有限集范畴的情况下，这意味着不仅要计数（大小为的所有集合是同构的），还要记住如何计数（有种不同计数大小为的集合的方法）。记得这种额外结构会导致更高阶的理论的发展。它们共同捕捉了关于原始范畴的深层信息——正如有限集合范畴的谱给出球谱。

在拓扑理论中，从以给定拓扑空间为参数的有限维向量空间族范畴出发，这些更高阶的不变量可以通过著名的Bott周期性定理来理解。但在代数理论中并非如此。从代数理论的角度来看，空间的拓扑理论是对其上的函数环的研究。因此，自然地可以考虑将这一概念推广到任意环。从拓扑空间上函数构成的交换环到更一般的环的这种泛化正是非交换几何的关键思想，这是由Alain Connes创立的数学分支。有一段时间，找到正确的扩展以产生具有良好性质的更高阶不变量是一个困难的问题。这个问题最终由 Quillen于1973年解决。Atiyah和Quillen都因为他们的工作而获得了菲尔兹奖。

另一方面，在代数理论和数论之间存在着深刻的联系，如Milnor、Quillen-Lichtenbaum和Bloch-Kato的相关猜想，这些猜想现在已经解决。Waldhausen受有关流形的研究启发，将环的代数理论扩展到更广泛的环谱类别。这是一个非常强大的理论，目前是拓扑学家和数论学家研究的活跃领域。

THH、TC

由于理论很难计算，因此构建与理论相关但更容易计算的理论就变得非常重要。Hattori和Stallings（1965年）为结合环定义了一个映射——Hattori-Stallings迹映射——将由幂等元素定义的投射模的类映射到的迹。Dennis（1976年）观察到存在一个从环的更高阶群到的Hochschild同调的映射，与Hattori-Stalling的迹映射密切相关，这个映射后来被称为Dennis迹。

在环光滑时，Hochschild-Kostant-Rosenberg（1962年）证明了映射同构, 且de Rham微分对应Connes的算子(视为上的作用) 。换言之Hochschild同调是将de Rham上同调拓展到非交换环。

Waldhausen（1979年）注意到球谱、稳定理论（记为）和Hochschild同调之间通过Dennis迹存在联系。

由Goodwillie的“函子微积分”理论，可以定义为的一阶微分。Goodwillie也由此猜测存在一种介于理论和Hochschild同调之间的理论，其对所有环谱与稳定理论一致，但具有Hochschild同调风格的定义。他称这个理论为拓扑Hochschild同调（）；在中的基环是整数环，而在中的基环是球谱。

K和TC的微分一致

Alain Connes（1985年）通过定义循环同调首次将循环作用使用在迹映射上。循环同调可以看作是Hochschild同调谱的同伦轨道。

然而，为了通过迹映射和理论进行比较，关键点不是同伦轨道，而是同伦不动点。Hochschild同调的同伦不动点导致了Goodwillie和Jones的负循环同调。Goodwillie（1986年）证明了如果单纯代数映射诱导一个满射，其中核是幂零的，那么相对理论等同于相对负循环同调。因此，与Hochschild同调相关的循环理论在有理数域上成为计算理论的有力工具。但就像与稳定理论的比较一样，为了避免有理化的过程，我们需要将Hochschild同调替换为拓扑Hochschild同调。

拓扑循环同调，也被称为，在Bökstedt，Hsiang和Madsen（1993年）对Novikov猜想的代数理论类比证明中首次出现。负循环同调自然的推广应该是拓扑Hochschild同调作用的同伦不动点空间，但结果表明这样构造的并不具备所有期望的属性。相反，他们考虑了在的有限子群的作用下的实际不动点。在一个素数处完备后，只看有限子群的作用并不是一件不合理的事情，因为通过观察关于素数幂次的循环群的同伦不动点的一系列塔（tower），可以计算整个作用的同伦不动点。Bökstedt发现的关于的等变性质使得有限群的实际不动点能很好地被处理，并在某种程度上比同伦不动点空间要好得多: 与的有限子群相关的不动点空间通过更多的映射相连, 这些信息被总结为拓扑循环同调并给出理论的惊人良好逼近。实际上，Dennis迹穿过给出分圆迹。

Dundas-Goodwillie-McCarthy证明了“和的差值是局部常值的”，即分圆迹诱导了一阶微分同构。这推出了上述和比较的整体版本[文献1]。

棱镜上同调

Bhatt-Morrow-Scholze（2016年）建立了上同调理论，这个理论被认为是最本质的进上同调理论——由此理论出发可以自然地导出其它已知的进上同调理论。这项工作的动机是给出Breuil-Kisin模的几何构造；Breuil-Kisin模在整体进Hodge理论中是一个强大的工具。Hesselholt早期（2006年）的计算表明 （这里为局部域的完备代数闭包）的拓扑循环同调由的Tate扭给出；受到Hesselholt结果的启发，Bhatt-Morrow-Scholze猜测（适当排序的）拓扑Frobenius同调应该产生所需的上同调理论。

棱镜上同调在SpecA上的取值

拓扑Hochschild同调带有等变的Frobenius作用，这表明是一种拓扑Frobenius同调。Bhatt-Morrow-Scholze（2018年）[文献2]类比代数理论的“motivic”过滤用完美胚理论在上构造了一个非平凡的过滤使得分次为上述上同调；这一过滤首先由Hesseholt推测存在。Bhatt-Scholze（2019年）利用环仿造晶体上同调纯代数地定义了相对棱镜上同调——推广了上述上同调理论，随后Drinfeld（2020年）以及Bhatt-Lurie（2022年）利用棱镜化定义了绝对棱镜上同调。最近，Scholze和其合作者提出了解析棱镜化用以处理解析进Hodge和局部进Langlands。

刘-王

随着在获得理论信息方面取得了成功，Bökstedt和Madsen（1994年，1995年）[文献3]进行了著名的对的计算。为和理论的许多后续计算设定了标准模型。虽然他们的论文可能难以阅读，但其中包含了大量宝贵的想法。简而言之，计算的过程可以总结如下：（1）计算；（2）考虑不动点和同伦不动点的联系；（3）计算和;（4）拓展到。Bökstedt-Madsen，Tsalidis（1997年）和Rognes（1999年）利用相似的想法将上述计算推广至非分歧扩张的整数环。与此同时，Hesselholt-Madsen在特征上进行了一系列深刻且富有启发性的工作，并在局部域的情形将理论和de Rham-Witt复形联系起来[文献4]，这解决了当局部域的留数特征为奇素数时的分歧情形。

刘若川和王国祯（2020年）[文献5]注意到这一方法的部分困难在于Tate微分的计算，需要考虑所有有限子群的Tate谱序列。受到前述Bhatt-Morrow-Scholze工作的影响，他们开辟了一条计算TC的新路径：下降谱序列方法。新方法的核心在于可以在下降谱序列上进行Tate操作，从而将Tate微分的计算转变成了纯代数问题，并同时通过加细Nygaard过滤简化了微分计算，这在同伦理论的框架内是难以达成的。 这使得他们极大地简化了上述的经典工作，并且解决了之前遗留的p=2分歧的情形。下降谱序列方法将经典的等变同伦论方法中遇到的纯拓扑的困难转化为代数问题加以解决，是拓扑循环同调领域的重大突破，特别是可以应用在一些具有奇点的代数簇上，有广阔的发展前景。Dundas在2021年美国数学会《基础数学研讨会论文集》中关于拓扑循环同调的综述文章[文献6]中评价“……全新且优雅的处理拓扑循环同调的方法已经发展起来。一个惊人的例子可以参见刘若川和王国祯的文章……”

刘-王的策略

刘若川和王国祯的新思路和新方法迅速得到同行们的高度关注，并应用于他们的研究中。例如Antieau-Krause-Nikolaus（2022年）对的计算，他们通过考虑棱镜上同调的下降谱序列以及过滤棱镜上同调来进行的计算。Hahn-Wilson（2020年）利用下降谱序列得到了截断Brown-Peterson谱的“红移”现象，这和Burklund-Schlank-Yuan（2022年）解决了环的“红移”猜想以及Burklund-Hahn-Levy-Schlank（2022年）否决“望远镜”猜想紧密相关。此外, Hahn-Raksit-Wilson（2022年）[文献7]以及Piotr Pstrągowski（2023年） 结合Bhatt-Morrow-Scholze的工作对一般的环谱定义了“motivic/even”过滤统摄了上述构造，并利用下降谱序列计算了。

代数拓扑与算术几何的交叉研究目前处于非常活跃的阶段，我们相信这些仅仅是一个开端。

文献

1. Dundas, Bjørn Ian, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Springer Science & Business Media, 2012.

2. Bhatt, Bhargav, Matthew Morrow, and Peter Scholze. Topological Hochschild homology and integral p-adic Hodge theory. Publications mathématiques de l'IHÉS 129.1 (2019): 199-310.

3. Bökstedt, Marcel, and Ib Madsen. Topological cyclic homology of the integers. Aarhus University, 1993.

4. Hesselholt, Lars, and Ib Madsen. On the K-theory of local fields. Annals of mathematics 158.1 (2003): 1-113.

5. Liu, Ruochuan, and Guozhen Wang. Topological cyclic homology of local fields. Inventiones mathematicae 230.2 (2022): 851-932.

6. Dundas, Bjørn Ian(N-BERG), Applications of topological cyclic homology to algebraic K-theory.(English summary)Cyclic cohomology at 40: achievements and future prospects, 135–159. Proc. Sympos. Pure Math., 105, American Mathematical Society, Providence, RI, [2023], ©2023

7. Hahn, Jeremy, Arpon Raksit, and Dylan Wilson. A motivic filtration on the topological cyclic homology of commutative ring spectra. arXiv preprint arXiv:2206.11208 (2022).