01 祖暅原理PK卡瓦列里原理

卡瓦列里（Cavalieri, Francesco Bonaventura, 1598—1647年11月30日）是意大利数学家和物理学家。他生于米兰，是伽利略的学生。1613年加入耶稣教会．1629—1647年任波伦亚大学数学教授。

他是当时最有影响的数学家之一．他把伽利略不可分法的思想发展为几何学，提出线是由点构成的，面是由线构成的，体是由面构成的无限细分积零为整的概念．他利用开普勒无穷小几何数的思想，把阿基米德的穷举法发展为除不尽方法，这是积分学的最初思想。

他在1635年发表的《不可分量几何学》被誉为数学史上的里程碑．提出了如下原理，被命名为卡瓦列里原理：

（1）如果两个平片处于两条平行线之间，并且如果平行于这两条平行线的任何直线与这两个平片相交，所截二线段长度相等，则这两个平片的面积相等。

（2）如果两个立体处于两个平行平面之间，并且如果平行于这两个平行平面的任何平面与这两个立体相交，所截二截面面积相等，则这两个立体的体积相等。

卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这两个原理，就能解决许多求面积和求体积的问题．只用初等数学方法，而不需用更先进的微积分方法。

祖暅（ɡènɡ），亦名祖暅之，是我国著名数学家祖冲之（公元429—500）的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年。是南朝齐梁间数学家，曾任太府卿。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出贡献。

祖暅在修补编辑祖冲之的《缀术》时，提出了著名的祖暅原理，并巧妙地推导出球体积公式。

祖暅原理也称祖式原理，一个涉及几何求积的著名命题，公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用的一个原理："幂势既同，则积不容异"。意即："夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。"

祖暅之《缀术》有云："缘幂势既同，则积不容异。"

由此可见，祖暅原理与卡瓦列里原理2完全相同。然而祖暅提出这个原理的时间却比卡瓦列里早一千多年，因此，这个数学史上的里程碑理所当然地应立在祖暅的名下。尽管"正名"的工作比较复杂，但是，中国人在数学史上的贡献是不容置疑的。

也有一些学者认为，其实卡瓦列利定理是说：两个同高的立体，如在等高处的截面积成固定比，则体积也成同样的比例，所以比祖暅原理稍微广泛一些，但这根本不是重点。

卡瓦列利之所以能提出卡瓦列利定理，是因为他继承和发展了前人关于不可分量的思想。在他的专著中他认为面积是无数个等距平行线段构成，体积是无限多个平行的平面面积构成，并把这些元素称为面积和体积的不可分量。

这种不可分量的思想已经和现代积分的思想比较接近了。卡瓦列利关于不可分量的思想后来经过费马等人批评，继承，演化成无穷多个无穷小长方形逼近面积的思想，再演化成昨天文章中提到的初等方法，并最终孕育出现代积分的思想。这也正是卡瓦列利被誉为"微积分的先驱"的原因，实际上，他是最重要的微积分先驱之一。

02 用定理求出有关图形的面积和体积。

卡瓦列利正是用这种不可分量的思想导出卡瓦列利定理，并用这个定理求出许多图形的面积和体积。

椭圆的面积

下面我们来应用卡瓦列里原理得出求椭圆面积的公式。

建立直角坐标如图1所示：

在同一个坐标系下椭圆和圆的方程分别为

在第一象限部分解出y分别得到

由此可知，椭圆和圆的相应纵坐标之比是b/a.所以椭圆和圆的相应弦之比也是b/a.因此，根据卡瓦列里原理1，椭圆和圆的面积之比也是b/a.从而得出椭圆面积为

2. 球的体积

很多时候，原理在左，方法在右，中间就是苦思冥想的你，数学中很多原理都是简单易懂的，甚至有可能在我们的基因中就编码好了（仅个人猜想，没有科学证明，或者说我没有见到相关的科学资料的验证。）懂了原理后，如何允许这些原理解决问题，是需要花大量的时间和精力去学习，去理解其中的技巧，比如，利用祖暅原理推导球的体积，想法上也不难，就是要构建一个模型：使得两个平行平面间有一个"球"与另一个"几何体"，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，截得两个截面的面积总相等，这样就可以将球的体积转化为这个几何体的体积。

早在公元前3世纪，古希腊的阿基米德就给出了球的体积公式。他用一种奇妙的力学方法，算出半径为r的球体积是半径为r、高为2r圆柱体积的三分之二，并用穷竭法给出了证明。阿基米德的方法已经有了微积分思想的雏形，不过没有用上祖暅原理。

卡瓦列里原理的一个极为著名的应用是由早于卡瓦列里两千多年的阿基米德所实现的对球体积的精妙绝伦的计算。

下面我们应用祖暅原理来推出球体的体积。

如图2所示，左边是一个半径为R的半球；右边是一个半径为R、高也为R的圆柱，套一个以上底为底、以下底中心为顶点的倒放的圆锥。这个半球和挖出圆锥的圆柱处在同一平面上。这样，用平行于底面、与底面距离为h的平面截两个立体，所得截面一个是圆形面、一个是圆环面，如阴影所示。

下面用动态展示来分析这个经典的案例：构造一个与球等高的圆柱，在其中挖去一个"沙漏"形状的圆锥，剩下的一个"几何体"，恰好满足条件。

关键的图形来了，先看图，你是否能参透其中的玄机？

由上面的动图可以看出，我们从底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥，所得到的剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较，你会发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。就这样，球体的体积等是圆柱与两个圆锥的体积之差：

这就证明了球的体积公式。

阿基米德的方法真巧妙，我们不得不赞叹他的伟大！后来的卡瓦列里原理更加重要。 正如莱布尼茨在给曼弗雷迪的一封信中所说："几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是卡瓦利里和托里切利，后来别人的进一步发展部得益于他们的工作．"

3.球环的体积

作为祖暅原理的应用，让我们来求球环的体积。

把一个半径为R的球挖去一个孔，这个孔的半径为a，轴线与球的极轴重合，如图3所示。

我们用直径等于球环之高的一个球作为用来进行比较的体积，如图3所示。

现在，我们用与这两个立体的中心距离为h的一个水平平面截这两个立体。对于球环，我们得到一个环形截面，它的面积是

对于球，我们得到一个圆形截面，它的面积是

由此可知，

根据祖暅原理知，球环的体积V环与半径为r的球的体积是相等的。用《球的体积》中得出的结果

03 在考题中巧用 04 PK后的反思

在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但"祖暅原理"是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂，二者有异曲同工之妙。根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积，然后再导出球的体积。这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为"卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。从西方这条数学发现主线来看，卡瓦列里是发明微积分的牛顿和莱布尼茨的先驱。

几乎是同样一个定理，在西方，卡瓦列利定理背后是不断演化，最终孕育微积分的不可分量思想，而在中国，祖暅原理却仅仅用来求锥体和球体体积，甚至没有探究为什么祖暅原理会成立。这种对比也可以看出中国古代数学落后的根源：追求实用，追求现实目的，没有探究数学公式或原理背后的更抽象更深刻的思想和逻辑。