一．概念描述

现代数学：对于平移的定义在不同的书中有不同的体现，一般有以下几种。

①在欧式平面上（欧式空间中），把每一个点P按照已知向量AA’的方向移到P’，使PP’= AA’，如此产生的变换称为平面上（空间中）沿向量AA’的平移变换，简称平移或直移。

②在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

③一种图案或者图形可以向任何方向滑动。如果它的大小和方向没有改变，那么这种运动叫作平移。

小学数学：小学阶段并没有对平移绐出明确的定义，而是结合具体实例直观认识平移现象，并通过在方格纸上作已知图形经平移变换后的图形来获取运动体验，感受到平移就是物体在直线方向上的移动，本身没有发生方向上的改变。

二．概念解读

平移是图形运动的一种形式，是图形变换的一种。它与旋转同属于图形变换中的全等变换。

①平移是现实生活中广泛存在的现象，平移前后遵循着这样的特征“经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等”。从下面左图中我们可以看到新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换就是我们所说的平移变换。

从下面右图中，教师还应认识到平移的方向不一定是水平的。

②确定平移的两个基本要素：一是平移的方向，二是平移的距离。这两个要素是判断图形平移的依据。

③图形在平移前后有许多美妙的特征，最重要的是图形在平移前后有三个不变：

A．图形平移后的形状和大小没有发生变化，只是位置发生了变化。

B．图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，对应角相等。

c．图形平移后，在原图形上的点或图形也作了相同的平移。

④高等几何中提到平移变换是欧式几何中的一种重要变换。平移是第一种正交变换。例如在平面直角坐标系中，若AA’={a，b}，点P(x,y)沿AA’平移到点P’(x’,y’)，则这个平移变换的代数表达式为：

X’=x+a

Y’=y+a

平移变换的逆变换也是平移变换。两个平移变换的乘积仍是平移变换。所以平移变换的全体构成一个群，称为平移群。平移变换的概念可以推广到n维欧氏空间，其代数表达式为：x’i=xi+ai(i=1,2,...,n;ai为常数)，或用矩阵表示为：(x’i)=(xi)+(ai)。其中(x’i)，(xi)，(ai)均为n×1矩阵。

三．教学建议

在现实生活中，学生对平移应该已经有了切实的感受，只是不知道这个专门的术语。在小学阶段，课程标准也只要求让学生从生活实际除法，有一个初步的感受就可以了。小学阶段对于平移的学习分为两个阶段---第一阶段：直观认识平移现象，感受特征。第二阶段：借助方格纸作已知图形经平移变换后的图形，运用图形的平移运动进行图形的设计与欣赏。因此，教师在教学中必须要准确把握住每个阶段的具体目标。

第一阶段：直观认识平移现象，感受特征。

建议1：充分利用学生已有的生活经验，从学生的生活经验入手，引导学生直观认识平移现象，通过动手操作活动，整体感受平移的特征。如吴正宪老师执教的“平移与旋转”一课就从学生熟悉的游乐场入手，让学生观看游乐场的活动场面，并鼓励学生按它们不同的运动方式分类，同时借助手势、动作进一步体会平移与旋转的特点。

建议2：通过图形的运动变化去认识平移，有助于学生运用数学的眼光看待现实世界。如在学生学习完平移之后，我们可以让学生以变换的角度欣赏图案。

建议3：联系生活实际，体会价值。如在学习完平移之后，学生都会提出这样的问题“平移有什么用？”。吴正宪老师在课堂上把上海音乐厅平移66 4米的新闻录像放给学生，使学生体会到数学的神奇力量，进而感受到平移的价值。

第二阶段：借助方格纸作已知图形经平移变换后的图形，运用图形的平移运动进行图形的设计与欣赏。

学生在这一阶段的学习中，不仅要从整体上感受变换现象，并且要开始探索如何刻画平移。在教学时，教师一般会采取这样的教学策略引导学生进一步认识平移。从整体感知到关注局部（点或线），当然这个过程是在学生具体操作中获得的。同时，让学生在图形欣赏中加深对平移的理解，从而获得图形运动的体验，感受图形变换带来的美。

四．推荐阅读

(1)《小学数学课堂教学设计》（刘加霞，同心出版社，2007）

该书第93-104页以专题的形式就什么是平移，什么是旋转？平移与旋转究竟让学生掌握到什么程度？怎样来深化学生对平移与旋转的认识？进行了探讨。

(2)《新课程名师精彩课堂实录·小学数学卷》（周成平，中国科学技术出版社，2005）

该书第1-6页和第100-108页收录了两位特级教师有关平移与旋转的教学设计，同时还有精彩的课后评析。