书接上回，机械设计常用的数学公式汇总之平面三角公式，值得收藏。话不多说，请往下看是不是有漏掉的。

1、三角函数的定义

2、任意角三角函数诱导公式

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ＋α）＝ sin α

cos（2kπ＋α）＝ cosα

tan （2kπ＋α）＝ tan α

cot （2kπ＋α）＝ cot α

公式二：

设α 为任意角， π+α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：

sin （π＋α）＝－ sin α

cos（π＋α）＝－ cosα

tan （π＋α）＝ tan α

cot （π＋α）＝ cot α

公式三：

任意角α 与 - α 的三角函数值之间的关系：

sin （－ α）＝－ sin α

cos（－ α）＝cosα

tan （－ α）＝－ tan α

cot （－ α）＝－ cot α

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π- α 与α 的三角函数值之间的关系：

sin （π－α）＝ sin α

cos（π－α）＝－ cosα

tan （π－α）＝－ tan α

cot （π－α）＝－ cot α

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π- α 与α 的三角函数值之间的关系：

sin （2π－α）＝－ sin α

cos（2π－α）＝cosα

tan （2π－α）＝－ tan α

cot （2π－α）＝－ cot α

公式六：

π/2 ±α 与α 的三角函数值之间的关系：

sin （π/2 ＋α）＝ cosα

cos（π/2 ＋α）＝－ sin α

tan （π/2 ＋α）＝－ cot α

cot （π/2 ＋α）＝－ tan α

sin （π/2 －α）＝ cosα

cos（π/2 －α）＝ sin α

tan （π/2 －α）＝ cot α

cot （π/2 －α）＝ tan α

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k2 π/2 ±α(k ∈Z)的个三角函数值，

①当k 是偶数时，得到α 的同名函数值，即函数名不改变；

②当k 是奇数时，得到α 相应的余函数值，即

sin →cos;cos →sin;tan →cot,cot →tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2 π－α) ＝sin(42 π/2 －α) ，k＝4 为偶数，所以取sin α。

当α 是锐角时，2π－α∈(270°，360°) ，sin(2 π－α) ＜0，符号为“－”。

所以sin(2 π－α) ＝－sin α

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α 视为锐角时，角k2360°+ α（k∈Z），- α、180°± α，

360° - α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断， 也可以记住口诀“一全正； 二正

弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

上述记忆口诀, 一全正, 二正弦, 三正切, 四余弦

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tan α 2cot α＝1

sin α 2csc α＝1

cosα 2sec α＝1

商的关系：

sin α/cos α＝tan α＝secα/csc α

cosα/sin α＝cot α＝cscα/sec α

平方关系：

sin^2( α) ＋cos^2( α) ＝1

1＋tan^2( α) ＝sec^2( α)

1＋cot^2( α) ＝csc^2( α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：

构造以" 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1" 的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上

函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值

的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin （α＋β）＝ sin αcosβ＋cosαsin β

sin （α－β）＝ sin αcosβ－cosαsin β

cos（α＋β）＝ cosαcosβ－sin αsin β

cos（α－β）＝ cosαcosβ＋sin αsin β

tan α＋tan β

tan （α＋β）＝——————

1－tan α 2tan β

tan α－tan β

tan （α－β）＝——————

1＋tan α 2tan β

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2 α＝2sin αcosα

cos2α＝cos^2( α) －sin^2( α) ＝2cos^2( α) －1＝1－2sin^2( α)

2tan α

tan2 α＝—————

1－tan^2( α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2( α/2) ＝—————

2

1＋cosα

cos^2( α/2) ＝—————

2

1－cosα

tan^2( α/2) ＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan( α/2)

sin α＝——————

1＋tan^2( α/2)

1－tan^2( α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2( α/2)

2tan( α/2)

tan α＝——————

1－tan^2( α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2 α=2sin αcosα=2sin αcosα/(cos^2( α)+sin^2( α))......* ，

（因为cos^2( α)+sin^2( α)=1 ）

再把*分式上下同除cos^2( α) ，可得sin2 α＝2tan α/(1 ＋tan^2( α))

然后用α/2 代替α 即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

α＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝4cos^3( α) －3cosα

3tan α－tan^3( α)

tan3 α＝——————

1－3tan^2( α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3 α＝sin3 α/cos3 α

＝(sin2 αcosα＋cos2αsin α)/(cos2 αcosα-sin2 αsin α)

＝(2sin αcos^2( α) ＋cos^2( α)sin α－sin^3( α))/(cos^3( α) －

cosαsin^2( α) －2sin^2( α)cos α)

上下同除以cos^3( α) ，得：

tan3 α＝(3tan α－tan^3( α))/(1-3tan^2( α))

sin3 α＝sin(2 α＋α) ＝sin2 αcosα＋cos2αsin α

＝2sin αcos^2( α) ＋(1 －2sin^2( α))sin α

＝2sin α－2sin^3( α) ＋sin α－2sin^2( α)

＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝cos(2 α＋α) ＝cos2αcosα－sin2 αsin α

＝(2cos^2( α) －1)cos α－2cosαsin^2( α)

＝2cos^3( α) －cosα＋(2cos α－2cos^3( α))

＝4cos^3( α) －3cosα

即

sin3 α＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝4cos^3( α) －3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角： 3 元减 4 元3 角（欠债了( 被减成负数) ，所以要“挣钱” ( 音

似“正弦” ) ）

余弦三倍角： 4 元3 角减 3 元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名， 即正弦的三倍角都用正弦表示， 余弦的三倍角都用余弦表

示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sin α＋sin β＝2sin —---- 2cos— ---

2 2

α＋β α－β

sin α－sin β＝2cos—---- 2sin — ----

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—----- 2cos— -----

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin —----- 2sin — -----

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sin α2cos β＝0.5[sin （α＋β）＋ sin （α－β）]

cosα2sin β＝0.5[sin （α＋β）－ sin （α－β）]

cosα2cos β＝0.5[cos （α＋β）＋ cos（α－β）]

sin α2sin β＝－0.5[cos （α＋β）－ cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先, 我们知道

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理, 若把两式相减, 就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的, 我们还知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以, 把两式相加, 我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样, 我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好, 有了积化和差的四个公式以后, 我们只需一个变形, 就可以得到和差化积

的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b 设为y, 那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

任意角三角函数诱导公式表

3、三角函数基本公式

1)一个角的诸函数的基本关系

2)一函数以同一角的其他函数表示式

3)和差公式

4)倍角公式

5)积化和差公式

6)和差化积公式

7)半角公式

8)函数的乘方

9)其他常用公式

4、任意三角形常用公式

正弦定理

余弦定理

正切定理

面积

a边上的高

a边上的中线

A角的二等分线

外接圆半径

内切圆半径

半角公式

5、任意三角形边和角的公式

1)已知,一边和二角α、∠A、∠B。求其余要素的公式：

2)已知,二边及其夹角a、b、∠C。求其余要素的公式：

3)已知,二边和其一对角a、b、∠A。求其余要素的公式：

4)已知,三边a、b、c。求其余要素的公式：

注意：

① 表示如a＞b，则∠B＜90°，这时只有一值。如a＜b，则当bsinA＜a时，∠B有二值(∠B2＝180°-∠B1)；当bsinA＝a时，∠B有一值即∠B＝90°；当bsinA＞a时，三角形不可能。

6、反三角函数

今天就到这了。明天更新常用曲线方程。敬请期待……