简单的分牛问题你会吗？

1 问题背景

分牛问题是小学生的经典问题，经过岁月的洗礼经久不衰。其大意是：古印度一位老人弥留之际把他的三个儿子叫到床前，要把19头牛分给他们，长子分得总数的1/2，次子分得总数的1/4，幼子分得总数的1/5.按照传统的规矩，牛既不能宰杀，也不能卖掉，只能整头分。19这个数，既不能被2整除，也不能被4整除，同样不能被5整除，三兄弟想问问父亲如何分的时候，老人已经过世了。

怎样分呢？

2 具体分法

2.1借牛法

等到老人去世之后，三名兄弟就坐在一起讨论应当如何分牛。三兄弟将19分别乘以三个占比，发现，大儿子应当分得19×1/2=9.5头牛，二儿子应当分得19×1/4≈4.75头牛，小儿子应当分得19×1/5=3.8头牛。这三个数字都不是整数，如果舍掉小数点后的部分，大儿子能分到9头牛，二儿子能分到4头牛，小儿子仅能分得3头牛，这样加起来仅有16头牛，需要杀死3头牛。一人分一头的话好像又不太合理，在这种情况下应该如何做呢？

他们找到了聪明博学的邻居，邻居提议借他们一头牛，分完再将这头牛还给他就好。

于是三兄弟依旧按照父亲所说的占比那样分牛，大儿子分得了20×1/2=10头牛，二儿子分得了20×1/4=5头牛，小儿子分得了20×1/5=4头牛，10+5+4=19，刚好分完了老农夫留下的19头牛，余下一头牛可以还给邻居。问题就这样解决了，三兄弟开开心心地回家了.

2.2比例法

邻居知道，老人提出1/2、1/4和1/5的说法，是想让他的三个儿子按照比例分配这19头牛，而化为整数之后刚好为10:5:4，所以按照10:5:4这样的比例去分配老农夫留下的19头牛就刚好能分完。

那么，为什么邻居需要借给三兄弟一头牛用来分遗产，还能将自己的这头牛拿回去呢？因为想要将1/2、1/4和1/5这三个数化为整数的比例，需要乘以这三个分数的公倍数20，再加上1/2+1/4+1/5=19/20，也就是说老农夫所提出的分配方式，实际上是在分配20头牛中的19头，因此，邻居直接借出一头牛便可以免去自己向三兄弟解释一番的烦恼。

质疑：如果是下面的问题，不知聪明的你怎样处理。

如果这位老人留下了13头牛，分配方案如下：大儿子分1/2，二儿子分1/3，小儿子分1/4.三个儿子各分得几斗牛？

2.3方程法

设需要动用X头牛来分，X（1/2+1/4+1/5）=19,解得X=20,于是长子分10头牛，次子分5头牛，幼子分4头牛。

2.4无限递缩等比数列法

首先，长子分得9.5头，次子分得4.75头，小儿子分得3.8头，他们一共分得18.05头，还剩19/20头，于是还有19/20头没有分完。继续第二次分，要求仍然是长子分的总数的1/2，次子分的总数的1/4，小儿子分的总数的1/5，其结果是仍然没有分完，还剩：

同理下去,继续分第三次、第四次……第n次……

长子分得的数目是：

这是个公比为1/20的无穷递缩等比数列。

利用无穷递缩等比数列的求和公式可得：

同理可得，次子分得的数目为5，小儿子分得的数目为4.

这种解法采用了无穷递缩等比数列求和这个数学工具，直视题目中的矛盾，第一次分后剩下的牛，再次按照遗嘱的要求来分，这样一次一次的无限分下去，每次分得的数目构成一个公比为1/20的无穷递缩等比数列，求其和就可以了.

2.5属性数学法

1/2+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20转换为10/19+5/19+4/19=1，得19-10-5-4=0.分配结果是：长子分10头牛，次子分5头牛，幼子分4头牛.

2.6余数法

在“借牛法”中说“一人分一头的话好像又不太合理”，实际上一人一头的分法非常合理。即长子9+1=10，次子4+1=5，幼子3+1=4分法符合老人遗嘱的分配方案的。为什么呢？剩下的3头牛中已有长子的0.5头，次子的0.75头，幼子的0.8。把剩下的0.95按10：5：4的比例来分的话长子应该分其中的0.5，次子分0.25，幼子分0.2.与前面的数字加起来正好每人各分一头。

3.由分牛问题引起的反思

以上六种分法结果相同，而方法完全不同。这里涉及小学的比例、分数、最小公倍数知识，初中的一元一次方程、不等式知识，还有古代属性数学知识和高中的等比数列及极限等知识。这是个一题多解的题目，各种方法不但用的知识、方法不同，思考的角度也不尽相同.

沉思者

反思一：借牛法

借牛法是巧妙绝伦的分法，一个难题通过“借一还一”的方法轻松解决。比如下面的问题如何用“借一还一”的技巧.

1999年“康师傅”方便面厂的厂家为促销，公开承诺：五个空的方便面碗就可以换得一盒方便面。青工小王一下买了20碗方便面，吃完五碗就去换回一碗，当他吃完24碗时，他还剩下4个空碗。当他准备再去买一碗方便面时，他的朋友送给了他一个空的方便面碗，他用这五个空碗又换回了一碗方便面，吃完之后，把这个空碗还给了他的朋友。 这位朋友采取的办法也是“借一还一”，而这个“借一还一”丝毫没有违背厂家的承诺：

五个空碗＝一碗方便面

五个空碗＝一个空碗＋一碗面

4个空碗＝1碗面（不带碗）

即：20＋20÷4＝25

类似的还有 “某商店规定：三个空汽水瓶可以换一瓶汽水。小张手上有十个空汽水瓶，她最多可以换多少瓶汽水喝？”你知道是几瓶吗？

反思二：这里的比例关系是随意的吗？

答案肯定不是，比如改成1/2,1/4,1/10将会剩下两头牛，这个问题就无法解决了。既然不是随意，该如何构造这些数字呢？比如说：长子分1/2，次子分1/4，小儿子的比例与牛的总头数有怎样的关系呢？

由于x、y是整数，并且y>x，可求得下列两组解:

也就是可以构造的问题只能是如下两个，第一个就是本题，第二个可以构造如下：

老人留下12头牛，分的比例是长子1/2，次子1/4，幼子1/6.

有兴趣的朋友可以变换其他条件试一试你会得到怎样的结论呢？