求解超静定结构问题基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。下面我们一步一步的开始学习了解‬。

一、超静定结构和超静定次数

1.超静定结构的几何特征和静力特征

首先，我们先了解静定结构和超静定结构的区别。如下图：

静定结构

上图是一个简支梁，一个典型的静定结构。其几何特征是：没有多余约束的几何不变体系。静力特征是：仅由静力平衡方程就能求出所有内力和反力。

超静定结构

上图表示的就是一个超静定结构。与简支梁相比，它多出了一个约束。则其几何特征是：有多余约束的几何不变体系。静力特征是：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。

2.超静定结构的性质。

超静定结构的约束包括必要约束和多余约束，必要约束可通过平衡方程直接确定，而多余约束须结合变形条件补充方程才可确定。

注意：多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内力和变形的大小和分布规律。

在一个静定结构上增加多余约束所得的超静定结构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余约束在很大范围内是可以任选的。

超静定内力和反力与材料的物理性质、截面的几何特征（形状和尺寸）有关。

非荷载因素（温度、支座移动）也会引起超静定结构内力和反力；

由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力；增强了超静定结构的整体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更均匀。

3.超静定结构的计算方法

超静定结构的求解思路：欲求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。（基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量）。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法—力法和位移法。

二、力法的基本原理

力法基本方程即为：

在上图所示例子中，Δ1是梁右端的竖直向位移。Δ1P为原结构外荷载引起的梁右端的竖直向位移。Δ11为多余约束力X1引起的梁右端的竖直向位移。δ11为在梁右端作用单位集中力所引起的梁右端的竖直向位移。

其中δ11和Δ1P可通过计算静定结构的方法求得；由此可确定约束力X1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。

力法步骤归纳

（1）确定超静定次数，选取基本体系；

（2）按照位移条件，写出力法基本方程；

（3）作单位弯矩图，荷载弯矩图；

（4）求出系数（δ11）和自由项（Δ1P）；

（5）解力法典型方程求多余未知力；

（6）用叠加法作原结构弯矩图，可用下式计算。

力法的基本原理总结：

从以上可以得到：

（1）力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。

（2）将全部多余约束去掉得到得静定结构称力法的基本结构。

（3）根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。

（4）在变形条件成立条件下，基本结构的内力和位移与原结构相同。

（5）将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。

例题：用力法分析结构弯矩并画出弯矩图。如下图：

分析本例为一次超静定结构，去除多余约束得到基本结构。

列出基本方程，计算δ11和Δ1P。

代入基本方程解得：

则弯矩为：

弯矩图为：

三、位移法的基本原理

满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条件；位移满足协调条件。

当以多余未知力为基本未知量求解时称为力法；当以某些结点位移作为基本未知量求解时就是位移法。

为了便于理解，举如下例子：

上图为5根链杆组成的结构，在结点上作用一集中力FP。通过结构组成分析，此问题为3次超静定。

结点只有竖向位移Δ，如设法求出各杆伸长量即可求出内力。

1.取一杆分析（先拆）

根据材料力学可得：

此式称为杆件刚度方程

2.综合成结构（后搭）

在小变形条件下，经过一定的简化，由位移协调可得：

由结点平衡可得：

将刚度方程代入得：

位移求出后，其他问题就迎刃而解。

位移法基本概念总结：通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系。

这里所提到的形常数是由单位杆端位移引起的杆端力（只与截面尺寸和材料性质有关的常数）。载常数：由荷载引起的杆端力（只与荷载形式有关的常数）。

通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程。

解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。

例子：如图所示结构，求荷载作用的弯矩图。

忽略轴向表形。首先先把A点固定住，不让其转动，如图。

在受外载作用后，A点将产生一个力偶阻止其转动。根据力法我们可以算出：

第二步，不加荷载，但人为的使A点发生转动，转角为θA，如下图。

A点转动了一个转角，也必然会分别对梁AC和柱AB引起力偶。我们通过形常数可得，在梁AC和柱AB在A点产生单位转角都会引起4i的力偶，其中i为单位弯矩刚度。转角为θA，引发的力偶均为4iθA。取A点单独研究，如图：

则F11=8i。

原结构受力应该是上述两种情况的叠加。要使θA=βA，则应使：F11+F1P=0。即：

转角θA已求得，代回便可求得各处弯矩，便能作出弯矩图。

由上例可以看出，位移法分析中应解决的问题是：

1.确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。

2.确定结构独立的结点位移。

3.建立求解结点位移的位移法方程。

最后，将力法和位移法的区别总结如下：力法是根据多余约束对应的位移、变形条件建立方程；位移法是根据未知节点位移对应的平衡条件建立方程；两种方法都是用来求解超静定结构，但是位移法也可用来求解静定结构。这两个方法一般都由三个方程得来，一是平衡方程，即物体受力平衡；二是几何方程，是表示物体变形与应变的关系；三是物理方程，表示物体应力与应变的关系。可以理解为，其实质填了是物体受力平衡，同时变形协调。

希望本文对你有所帮助。