问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:

[

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

]

输出: 7

解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

动态规划求解

这题求的是从左上角到右下角，路径上的数字和最小，并且每次只能向下或向右移动。所以上面很容易想到动态规划求解。我们可以使用一个二维数组dp，dp[i][j]表示的是从左上角到坐标(i，j)的最小路径和。那么走到坐标(i，j)的位置只有这两种可能，要么从上面(i-1，j)走下来，要么从左边（i，j-1）走过来，我们要选择路径和最小的再加上当前坐标的值就是到坐标（i，j）的最小路径。

所以递推公式就是

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j];

有了递推公式再来看一下边界条件，当在第一行的时候，因为不能从上面走下来，所以当前值就是前面的累加。同理第一列也一样，因为他不能从左边走过来，所以当前值只能是上面的累加。

比如上面图中，如果我们走到中间这一步的话，我们可以从上面1→3→5走过来，也可以从左边1→1→5，我们取最小的即可。我们来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {    int m = grid.length, n = grid[0].length;    int[][] dp = new int[m][n];    dp[0][0] = grid[0][0];    //第一列只能从上面走下来    for (int i = 1; i < m; i++) {        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];    }    //第一行只能从左边走过来    for (int i = 1; i < n; i++) {        dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];    }    for (int i = 1; i < m; i++) {        for (int j = 1; j < n; j++) {            //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值            dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];        }    }    return dp[m - 1][n - 1];}

我们看到二维数组dp和二维数组grid的长和宽都是一样的，没必要再申请一个dp数组，完全可以使用grid，来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {    int m = grid.length, n = grid[0].length;    for (int i = 0; i < m; i++) {        for (int j = 0; j < n; j++) {            if (i == 0 && j == 0)                continue;            if (i == 0) {                //第一行只能从左边走过来                grid[i][j] += grid[i][j - 1];            } else if (j == 0) {                //第一列只能从上面走下来                grid[i][j] += grid[i - 1][j];            } else {                //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值                grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);            }        }    }    return grid[m - 1][n - 1];}

递归求解

我们还可以把上面的动态规划改为递归，定义一个函数（对递归不太熟悉的可以看下前面写的426，什么是递归，通过这篇文章，让你彻底搞懂递归）

minPathSum(int[][] grid, int i, int j)表示从左上角到坐标(i，j)的最短路径和，那么同样道理，要走到坐标(i，j)只能从上面下来或者左边过来。所以代码轮廓我们大致能写出来

public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {    if (边界条件的判断) {        return    }    //一些逻辑处理    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));}

下面再来看下完整代码

public int minPathSum(int[][] grid) {    return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1);}public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {    if (i == 0 && j == 0)        return grid[i][j];    //第一行只能从左边走过来    if (i == 0)        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1);    //第一列只能从上面走下来    if (j == 0)        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j);    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));}

因为这里面的递归会导致大量的重复计算，所以还是老方法，就是把计算过的值存储到一个map中，下次计算的时候先看map中是否有，如果有就直接从map中取，如果没有再计算，计算之后再把结果放到map中，来看下代码

 public int minPathSum(int[][] grid) {     return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1, new HashMap<String, Integer>()); }  public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j, Map<String, Integer> map) {     if (i == 0 && j == 0)         return grid[i][j]; 8    String key = i + "*" + j; 9    if (map.containsKey(key))10        return map.get(key);11    int res = 0;12    //第一行只能从左边走过来13    if (i == 0)14        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1, map);15        //第一列只能从上面走下来16    else if (j == 0)17        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j, map);18        //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值19    else20        res = grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j, map), minPathSum(grid, i, j - 1, map));21    map.put(key, res);22    return res;23}

这题使用动态规划应该说是最容易理解的，也可以参照前面的409，动态规划求不同路径和411，动态规划和递归求不同路径 II，只不过递推公式会有点差别。

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