宇宙偏爱无序

今天我们将集中讨论熵的理论。理解熵的直觉，以及它与逻辑回归的关系。我们将从熵，KL散度，到交叉熵。

熵是从物理学的角度引入热力学系统的。它随后被应用于许多领域，包括统计力学、生物学和信息论。在机器学习中，我们使用信息论中的熵。那么，什么是熵?这和机器学习有什么关系呢?

熵

首先，考虑一个随机变量x，我们想知道当我们观察到这个变量的特定值时获得了多少信息。可以将这些信息量视为学习x值的惊奇程度。将I（x）表示为信息内容。假设x和y是独立且相同分布的（iid），则观察它们的信息增益应该是从它们中分别获得的信息的总和，即I(x,y) = I(x) + I(y)。将p（x）表示为x的概率分布。我们知道p（x，y）= p（x）p（y），因为它们是iid。从这两个关系中，我们可以推导出h（x）是p（x）的对数，我们有

信息内容

其中负号确保信息是非负的。

对于随机变量X，信息内容E [I（X）]的期望称为熵。将H（X）表示为X的熵，我们有

熵的公式

注意

因此，我们取p(x)lnp(x)=0（当x的值为p(x)=0时）。

更直观的是，我们可以将熵视为无序程度。当x的概率为1或0时，它是最有序的，换句话说，最一致，因此它的熵是0.另一方面，当x的概率是0.5时，它是最无序的（不一致的）。因此，它的熵是1。

熵（bits）与概率

这里我们使用2作为对数基数，称为“bits”单位。由于熵首先涉及信息理论中的比特编码（无噪声编码定理），因此将2作为对数基数使用是很自然的。我们也可以使用自然对数来定义熵。在这种情况下，熵以'nats'为单位而不是bits来测量。

我们使用一个简单的例子来显示熵。考虑两个学生，学生A总是考试失败，学生B总是通过考试。将概率p表示为通过测试的概率。如果他们这次都通过了测试，那么我们就有了

不出意料，A这次考试有更多的信息，因为A这次考试通过了，而他以前总是考试不及格。另一方面，学生B总是通过考试，对他来说通过考试是很平常的，当他再次通过考试时，关于这次考试的信息就不多了。

我们现在来看看熵

他们有相同的熵。由于他们在这种情况下具有相同程度的无序。对于A，它有10％通过，90％不通过。对于学生B，它有90％通过，10％不通过。在这种情况下它是对称的。我们还可以从上图中看出熵是对称的。

相对熵（KL散度）

相对熵，也称为KL散度（Kallback-Leiber divergence），是对两个概率分布距离的度量，其中p为真实分布，q为我们所模拟的近似分布。将KL散度定义为

显然，当p = q时，KL散度等于0.在该公式中，H_p(q)表示在p(x)分布中，用q(x)分布表示x所需要的信息量。H(p)表示p分布的熵。因此，KL散度表示使用q(x)而不是真实分布p(x)来指定x值所需的额外信息量。

交叉熵和Logistic回归

将交叉熵定义为

我们可以看到KL散度公式中的H_p（q）实际上是交叉熵。当p已知时，我们可以将H（p）视为常数，并且交叉熵等于KL散度，两者都表示p（x）和q（x）的相似性。由于p（x）是真实的分布，而q（x）是我们模型的近似分布，我们的目标是最小化这两个分布之间的距离。注意，它相当于最小化交叉熵并最小化KL散度。当p = q时，我们将获得最小点（在这种情况下，KL散度等于0）。它也被称为最小交叉熵原理（MCE）。

现在回到逻辑回归，我们有损失函数

在这种情况下考虑交叉熵

它与我们使用最大似然估计具有相同的结果！我们可以通过MLE或交叉熵推导出逻辑回归的代价函数。

最后

当我们想要在互斥类上使用概率模型时，我们需要一种方法来测量预测概率ŷ和ground truth概率y之间的差异。我们的目标是尽量减少它们之间的差异。我们可以看到交叉熵是这项任务的合理选择。此外，最小化交叉熵等同于最小化负对数似然，这是我们从最大似然估计得出的。交叉熵是概率模型中非常重要和基本的概念。它也用于神经网络的softmax函数，这是目前最流行的机器学习技术。