一、数字特性

掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

【基础】

奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数。

【推论】

1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2．能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3．能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

如果x＝mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

二、乘法与因式分解公式

正向乘法分配律：

(a+b)c=ac+bc；

逆向乘法分配律：

ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）

平方差：

a2-b2=(a-b)(a+b)；

完全平方和/差：

(a±b)2=a2±2ab+b2；

立方和：

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差：

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方和/差：

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

等比数列求和公式：

S=a1（1-qn）/(1-q) (q≠1)；

等差数列求和公式：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨

丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨

丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨

-丨a丨≤a≤丨a丨

四、某些数列的前n项和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2；

1+3+5+…+(2n-1)=n2；

2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；

12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)/3

13+23+33+…+n3==(n+1)2*n2/4

13+33+53+…+(2n-1)3=n2(2n2-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3