作者 | 蒋迅这个名字听起来有点吓人。那一定是一个非常难的数学题吧？其实它是约翰·伯努力早在1697年就解决了的两个积分公式：“大二生之梦”（sophomore's dream）这个名字源于“大一生之梦”（freshman's dream）。大一生之梦是一个不成立的公式，而“大二生之梦”则是成立的，不过其证明并不容易。让我们把证明的思路描述一下。因为这两个公式的证明是类似的，我们只用第二个公式来说明。第一步，我们将被积函数改为以为底的指数函数并做级数展开：第二步，将积分以级数展开：第三步，做变量替换 计算每一项积分:最后一步用到了伽玛函数的欧拉积分恒等式。将这三步和在一起，我们就得到了第二个“大二生之梦”。需要指出的是，伯努力当时还不知道有欧拉积分恒等式。所以他的证明是不一样。关键的不同点在第三步上，他是通过反复分部积分来计算的。大二生之梦/StackExchange “大二生之梦”是两个常数，它们的值分别为1.291285997...和0.7834305107...。我们可以定义一个函数那么和就是我们的两个“大二生之梦”。作为函数，它们有许多有意思的性质。菲涅耳积分/维基百科顺便再看一对类似的函数：菲涅耳积分（Fresnel integral）：菲以涅耳积分以法国物理学家，波动光学理论的主要创建者之一奥古斯丁-尚·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788－1827）命名的。它们是菲以涅耳在研究衍射现象时提出的。有了大一生和大二生之梦后，是不是还会有大三生和大四生之梦呢？参考文献J. Jacquelin, Sophomore’s Dream Functions., Sophomore's dream,