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连续与离散时间域各种傅里叶变换的联系与区别

万物皆有源 763

前言:

现在咱们对“离散傅里叶变换适用条件”大致比较珍视,大家都需要分析一些“离散傅里叶变换适用条件”的相关知识。那么小编在网摘上汇集了一些关于“离散傅里叶变换适用条件””的相关内容,希望小伙伴们能喜欢,朋友们快快来学习一下吧!

对于傅里叶级数,先看看它的来历:

也就是将一个复杂函数分解为简单函数:余弦波。其指数形式如下:

傅里叶级数是在周期函数的基础上推导出来的。

然后假设这个周期为无穷大,就得出了傅里叶变换FT:

图1

图2

我们注意到,图1和图2中分别存在dt和dw的微分因子,说明

在傅里叶变换的概念里面,时间和频率都是连续的。

再由傅里叶变换引出拉普拉斯变换:

图3

上述傅里叶变换和拉普拉斯变换都是在连续时间域进行分析得到的,如果进入离散时间域:

上图中的k,代表的是第几个离散函数点的意思。令T=1,得到

这里的序列傅里叶变换也就是

图4

而上图公式也就是离散时间傅里叶变换DTFT:

上图中的DTFT表达式也可以由图1中的傅里叶变换表达式直接得出,只要令

图5

这个表达式中的 t 变成 n 就可以了。t 代表的是连续的时间段,而 n 代表的是离散的时间点,因此,DTFT相对于FT来说,只要简单地把时间离散化就可以了。

我们还注意到,图4与图5相比,仅仅是时间被离散化了,频率w并没有,因此,DTFT的频率w还是连续的,也就是说,DTFT的频谱是连续的。

同时,我们还可以得出DTFT和z变换的关系:

z变换的单位圆就是:

既然DTFT与FT相比,只是时间被离散化了,那么,是否可以进一步对频率w也进行离散化呢?答案是可以的,这就是DFS:

图6

这里对频率w进行离散的方法就是以

为间隔,而

就相当于频率w,另外

表示的是复平面单位圆上等间隔的采样点。

上面DFS的推导是以周期序列为基础的,那么,对于非周期序列来说,可不可以进行傅里叶变换呢?当然可以,这就是DFT:

可以看出,DFT与图6的DFS相比,并没有什么不同,这是因为DFT中的序列虽然是非周期有限长序列,但只要对这个序列进行周期拓展,就可以认为拓展以后的序列就是DFS中的周期序列。

频率离散化的意义可以图示如下:

进一步的区别:

从上图可以看出,DTFT的频谱是连续的,DFS(DFT)的频谱是离散的,也是从DTFT的频谱等间隔取样得到的。

几种变换相互转换的方法:

上图表明,由于DTFT是相对于无穷序列的,所以必须截断才能实际应用;DTFT和DFT中的时域非周期信号都可以周期延拓为DFS中的周期序列,等等。

进一步与z变换的联系如下图:

三者理论上的联系:

一个信号实际的DTFT与DFT:

简单总结:

1:连续周期函数的分解导出了傅里叶级数,非周期函数的分解导出了傅里叶变换。

2:为了解决傅里叶变换中的函数收敛问题,得出了拉普拉斯变换。

3:为了对离散时间序列进行分解,得出了Z变换。

4:对傅里叶变换中的时间 t 进行离散化以后,得到了离散时间傅里叶变换DTFT。

5:在DTFT的基础上,进一步进行频率的离散化,就得出了DFS和DFT。

6:单位圆上的Z变换就是DTFT。

7:对连续的DTFT频谱进行等间隔采样,就得到DFT频谱。

标签: #离散傅里叶变换适用条件 #dtft频谱特点