张璟新疆交通科学研究院

摘 要：以新疆伊犁地区的G3016线高速公路为依托工程，利用灰色预测模型对路面使用性能的变化进行分析，然后根据马尔科夫模型得到路面状况的状态转移概率矩阵和将来的状态转移概率，再进行预测值的修正，对路面技术状况进行预测。结果表明：采用马尔科夫模型得到路面技术状况预测值与实测值相差没有超过一个评价等级，预测精度较好，可以为管养单位对沥青路面预防性养护提供参考。

关键词：沥青路面;马尔科夫模型;路面状况性能预测;

1引 言

沥青路面技术状况是公路养护的重要依据之一，由于新疆高速公路发展时间较短，历年路面检查数据不完整，给养护部门决策带来了一定的困扰。随着近年新疆公路飞速发展，管养里程不断增加，养护段落及时机的选择显得尤为重要。

使用马尔科夫链建立路面使用性能的预测模型，根据路面的状态，可以得到未来路面出现状态的概率。根据既有研究可知[1,2,3,4,5,6],灰色系统的预测方法在历史数据较少时能够达到的预测效果较其他的预测方法更为接近实际情况。在进行路况的调查与分析的过程中，或多或少的会存在路面使用性能的相关数据难以调查或者是存在缺失，所以本文根据对数据调查方面中的问题进行探讨，然后采用灰色系统预测方法建立相应的模型，对新疆伊犁地区G3016高速公路沥青路面的使用性能做出相关分析。

2GM(1,1)模型建模

GM(1,1)模型是灰色系统理论中应用最普遍的一种灰色动态预测模型，其本质是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。

累加生成是灰色建模的一个主要组成部分，原始序列是否随机以及其有效数据的数量，对累加生成法有着较为直接的影响。

若原始序列X(0)={x(0)(k)|,k=1,2,…,n}={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},原始序列的生成序列X(1)={x(1)(k)|,k=1,2,…,n}={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。如果这两个符合公式(1)的关系，那么X(1)是X(0)的一次累加生成。

X(1)(k)=∑i=αKX(0)(i)         (1)X(1)(k)=∑i=αΚX(0)(i)         (1)

当α=1时，是一般累加生成。式中X(1)(k)的1说明累加生成一次，称之为1-AGO。GM(1,1)模型还需要X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)},步骤如下。

(1)建立原始序列。

对X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)}进行 1-AGO,X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(n)}

x(1)(k)=∑i=1KX(0)(i)x(1)(k)=∑i=1ΚX(0)(i);k=1,2,…,n (2)

(2)对序列X光滑性检验。

ρ(k)是序列X的光滑比，计算如公式(3)所示。

ρ(k)=x(k)∑i=1k−1x(i)ρ(k)=x(k)∑i=1k-1x(i);k=1,2,…,n (3)

若序列X满足：

①ρ(k+1)ρ(k)<①ρ(k+1)ρ(k)<;k=2,3,…,n

②ρ(k)∈[0,ε];k=2,3,…,n

③ε<0.5

那么X是准光滑序列。

(3)检验序列X是否符合准指数规律。

σ(1)(k)=x(1)(k)x(1)(k−1)   =x(0)(k)+x(1)(k−1)x(1)(k−1)   =1+ρ(k)         (4)σ(1)(k)=x(1)(k)x(1)(k-1)   =x(0)(k)+x(1)(k-1)x(1)(k-1)   =1+ρ(k)         (4)

按照准光滑序列的定义，对于每个k,有ρ(k)<0.5。

若序列X满足：σ(1)(k)∈[1,1.5],δ<0.5

则称 X(1)具有准指数规律。

(4)定义Z(0)={z(1)(1),z(1)(2),z(1)(n)}是X(1)紧邻均值生成序列。

z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k+1)],k=1,2,…,n (5)

xˆ(0)(k)+az(1)(k)=bx^(0)(k)+az(1)(k)=b为GM(1,1)模型的基本形式。它的对应变化方程式，称影子方程是

dx(1)dt+αx(1)=b         (6)dx(1)dt+αx(1)=b         (6)

GM(1,1)模型中的参数–a是发展系数，b是灰色作用量。-a说明xˆ(1)x^(1)和xˆ(0)x^(0)的发展，灰色作用量说明数据发生改变的关系。

(5)求参数a和b。

如果aˆ=[a,b]Ta^=[a,b]Τ是参数列

Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x(0)(2)x(0)(3) ⋮x(0)(n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥         (7)B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢−z(1)(2)−z(1)(3)⋮−z(1)(3)11⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥         (8)Y=[x(0)(2)x(0)(3) ⋮x(0)(n)]         (7)B=[-z(1)(2)1-z(1)(3)1⋮⋮-z(1)(3)1]         (8)

GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列符合公式(9)。

aˆ=(BTB)−1BTY         (9)a^=(BΤB)-1BΤY         (9)

(6)求白化方程dx(1)dt+αx(1)=bdx(1)dt+αx(1)=b的解、时间响应序列和还原值。

①白化方程解如下

x(1)(t)=(x(1)(1)−ba)e−at+ba         (10)x(1)(t)=(x(1)(1)-ba)e-at+ba         (10)

②GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的时间响应序列为

xˆ(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+bax^(1)(k+1)=(x(0)(1)-ba)e-ak+ba;k=1,2,…,n (11)

③还原值

xˆ(0)(k+1)=xˆ(1)(k+1)+xˆ(1)(k)=(1−ea)(x(0)(1)−ba)e−akx^(0)(k+1)=x^(1)(k+1)+x^(1)(k)=(1-ea)(x(0)(1)-ba)e-ak;k=1,2,…,n (12)

(7)GM(1,1)模型精度检验。

GM(1,1)预测模型的精度能够依据精度分级表里的位置判别，如果预测精度等级小，那么预测的效果就好。GM(1,1)预测模型精度分级表如表1所示。

表1 GM(1,1)模型精度分级 导出到EXCEL

精度等级

1级

2级

3级

4级

C

>0.95

>0.8

>0.7

≤0.7

P

<0.35

<0.5

<0.65

≥0.65

GM(1,1)预测模型精度分级表中P是方差比，C是小误差概率，计算方法见公式(13)以及公式(14)。

P=P{|e(k)−e¯|<0.6247S1}         (13)Ρ=Ρ{|e(k)-e¯|<0.6247S1}         (13)

式中：e(k)=x(0)(k)−xˆ(0)(k),e¯=1n∑k=1ne(k),e¯=1n∑k=1ne(k),x¯(0)=1n∑k=1nx(0)(k)e(k)=x(0)(k)-x^(0)(k),e¯=1n∑k=1ne(k),e¯=1n∑k=1ne(k),x¯(0)=1n∑k=1nx(0)(k);e(k)为预测误差；e¯e¯为预测误差均值；xˆ(0)x^(0)为原始序列均值。

C=S2S1         (14)C=S2S1         (14)

式中：S1=1n∑k=1n(x(0)(k)−x¯(0))2−−−−−−−−−−−−−−−−−√,S2=1n∑k=1n(e(k)−e¯)−−−−−−−−−−−−√S1=1n∑k=1n(x(0)(k)-x¯(0))2,S2=1n∑k=1n(e(k)-e¯);S1为原始数列的标准差；S2为预测误差的标准差。

3路面使用性能预测实例分析

以新疆伊犁地区G3016线高速公路为例，该公路沥青路面结构如表2,某路段的PQI 实测值如表3。

表2 公路沥青路面结构 导出到EXCEL

面层

基层

底基层

主要病害

高速

公路

上面层4 cm

厚AC-16

下面层6 cm

厚AC-25

30 cm

厚水泥

稳定砂砾

25 cm厚

天然砂砾

裂缝、松散

表3 路面使用性能指数PQI值 导出到EXCEL

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

时刻

1

2

3

4

5

6

7

PQI

100

96.86

91.49

88.61

85.67

82.24

79.61

关于路面性能衰变方程的选择，这一路段使用路面性能衰变方程

PQI=100e0.000 26x2.20 (15)

相关系数是0.9991 6,回归方程精度是2.28。

将第i状态中值m代入方程，得出时间t。若将m=95代入方程，得时刻y=11.046。用t+1时刻代入方程得下一时刻的PQI的期望PQIE,结果如表4所示。

表4 ti和ti+1时刻的PQIE 导出到EXCEL

状态中值

95

85

75

65

30

使用时间ti

11.046

18.669

24.188

29.061

46.366

使用时间ti+1

12.046

19.669

25.188

30.061

47.366

ti+1时刻PQIE

93.98

83.34

73.02

62.88

28.32

对PQI进行假设，认为其分布遵从正态分布，PQI的期望是PQIE按照回归方程精度S当作标准离差，进行离散。

按照路面性能为优的状态中值，按PQIE=93.98为均值，按回归精度S=2.28为标准离差建立正态分布N(93.98,2.282)再计算PQI在状态区间(100～90)的概率p。用MATLAB计算，编程如下

p=normcdf(100,93.98,2.28)-normcdf(90,93.98,2.28)=0.955 4

同理得到各状态上的Pij,得到路面状态转移概率矩阵为

路段在2013使用性能指数PQI是96.86,预测初年的路面状态分布P13=[0.501,0.289 1,0.176 0,0.086 4,0.036 2]。

按照以上方法，对本路段的路面性能进行预测，得到结果如表5所示。

表5 路面性能状态预测结果 导出到EXCEL

年

实测值

预测值

评价

等级

方差比

P

小误差

概率C

精度

2013

96.86

98.14

优

2014

91.49

93.56

优

2015

2016

88.61

85.67

87.15

84.36

良

良

0.19

0.99

I级

2017

82.24

83.01

良

2018

79.61

78.84

中

根据表5公路路面PQI值的预测值以及实测值，进行对比分析，得到路面性能状态预测等级与实测值符合。

4结 语

(1)灰色系统马尔科夫模型能够较好的对沥青路面性能指标进行预测，预测精度为1级，预测误差较小，可以为管养单位对沥青路面预防性养护提供参考。

(2)对路面性能预测结果进行分析，新疆伊犁G3016线高速公路从第7年开始PQI评价为中，应有针对性地采取养护措施，提高路面使用性能。

(3)由于收集的数据相对较少，各管养单位数据质量参差不齐，预测模型还需结合路面实际状况不断完善。

参考文献

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