传统微积分基本定理在使用三明治定理证明时的失误及其正解和一些相关问题的讨论

沈卫国

摘要：从任何函数除以自变量的前提条件之一，是自变量先不能趋于0或以0为其极限值的这个久被忽视的事实出发，也就是如欲从△x得到△x/△x，必须首先作为前提条件绝对不能有△x→0，直接导致△x/△x不可能再有△x→0的极限值，或极限值就是无意义的不定式0/0而绝对不会再是通常被认为的1。在此基础上，进而讨论了传统微积分基本定理在使用三明治定理证明时的失误及应该如何挽救这一重要定理。同时，按传统思路用三明治定理在处理自变量被除后而处于分母的情况下，虽然并没有像通常被普遍认为的那样证明微积分基本定理，但却意外地可以证明传统微积分极限法求导不成立。这一论证是笔者提出的很多论证的最新一个。最后，对瞬时速度的定义、分母有1与没1的一个数的区别等等问题进行了讨论。

关键词：导数；微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式；约分；除法；分母；自变量；趋0极限；三明治定理；瞬时速度；中值定理；积分；微分；增量函数；增量比值函数

一、一个函数除以自变量再求自变量的趋0极限不成立的理由

1、一个简单、有力的论据

此问题在笔者以往很多论文中一再强调。这里不妨提出一个更为简单直接的论据。

假设我们有一个最简单的函数△y=△x（为求与微积分中的情况相一致，特地写成函数x的增量形式）。如果我们欲在等式两边都除以一个自变量△x，必先要有前提条件△x≠0。因为显然，0不能作为除数，也不能出现在分母上。但是，其趋0极限△x→0作为前提条件可以吗？事实上也同样不行。因为△x→0当然也等于0，即有△x→0=0，△x趋于0，当然是以0为其极限的，也就是其此时的极限值是等于0的。按通常的写法，就是

.........................................................................................................（1）

于是显然，如欲在△y=△x式中除以△x得到△y/△x=△x/△x，其前提条件不但要有

△x≠0，还要有△x不能趋于0，也即是不能以0为其极限值或其极限值不能为0（即不能有△x→0=0），除非△x→0≠0，也就是△x的趋0极限不能以0为其极限值。这当然是荒谬的。于是，如果只有一个条件△x≠0，就说可以除以△x，得到△x/△x，再由同样的理由即△x≠0，又由约分或除法消去分母上的△x而得到1，即△x/△x=1/1=1，再对这个没有了分母△x的1去求其趋0极限，而得到传统上认为的极限1，显然是不行的。因为前面说了，△x/△x的得来，也就是其成立的理由之一，就是△x不能再趋于0（或不能以0为其极限值），现在怎么还能又由消去其分母上的△x反而可以得到其趋0极限为1了呢？须知，按逻辑上为先的理由，那个1是由自变量△x不能趋于0（极限值不能为0）才能得到的。现在却反过来，说分母上有自变量△x的函数△x/△x的趋0极限值是1，这在逻辑上就是一个矛盾，不能成立。属于因果倒置。

在直观上，其实也很好理解：既然△x/△x在数值上等于1/1=1，那理所应当就是△x=1或者△x→1（这一点与由△x得到△x/△x的前提之一是“不能有△x→0”是一致的），哪有什么△x→0=1的事？

总之，传统上的公式

...............................................................................................................（2）

由前述理由，根本就是一个错误的公式。因为在逻辑上，△x/△x不但要求要有前提△x≠0，同时也要有前提“不能有△x→0”，因为无论这二者的哪一个，都会得到无意义的“不定式”0/0。

总之，毋庸置疑，其逻辑结构是：

不能有△x→0；才可推得△x除以△x而得到△x/△x；推得1；推得△x→0时极限为1；推得又可以有△x→0了。前后当然矛盾。

如果更简洁些，就是：因为“不能有△x→0”，才能从△x除以△x而得到△x/△x，所以不可能再有△x→0。

明确说，无论从△x除以△x得到△x/△x，还是从△x/△x约分或除法得到1，前提都有△x≠0和不允许△x→0（因为会得到无意义的0/0），因此根本就不可能出现通常认为的△x/△x的趋0极限为1的情况。

更简单些说，△x→0，当然为0，所以不能由此得到△x/△x。于是当然△x/△x不能再有△x→0。因为显然地，不允许△x→0是得到△x/△x的前提。

对于（△x）2/△x之类的情况，也类似，只有在“不允许△x→0时”，才可以对

（△x）2除以△x得到它，这是显然的。

仿上，对于二次函数的增量比值函数求导（求趋0极限）的情况，也是一样的。比如，二次函数的增量函数方程是△y=（2x+△x)△x，通常认为，其可以做除法除以△x得到增量比值函数

△y/△x=（2x+△x)△x/△x

....................................................（3）

其必要条件只是△x≠0，但实际上，在△x→0时，仍旧会有△x→0=0，即自变量的趋0极限值等于0，这同样不能做分母（否则同样会得到极限0/0）。于是，惯常的做法，只在

△x≠0的前提下用约分或除法消去分母上的△x由（3）式得到（2x+△x)再令其中的△x→0以求得趋0极限（导数）2x的做法是错的。因为不能允许△x→0，这个条件在由单纯的二次曲线的增量函数△y=（2x+△x)△x通过除以△x而得到增量比值函数（3）式时就已经具备了，难道得到了（3）式，就不认账了，就又可以令其趋于0了？逻辑上是自相矛盾的，结论上是因果倒置的。

过去极限法微积分求导（第二代微积分、标准分析），是直接给出增量比值函数的（3）式，在△x≠0的条件下，认为就可以消去分母上的那个△x，变（3）式为2x+△x，其后在求△x→0时该式的极限2x。这里面（3）式中同样不能有△x→0的条件并不显然（尽管在我看来已经很明显了），可以认为是隐含的。于是必须如笔者前期论文中所作的那样，死扣约分定义，得到约分后的所谓“消去分母上的自变量”，不过是分母必须为1，才能比较间接地得到不能有△x→0的结论。但在前文的讨论下一眼就可以看出，如果由增量方程△y=（2x+△x)△x除以△x在得到（3）式时，不能允许有△x→0就非常明显了，直接可以在一开始就得到它。于是这个结论，就是不可置疑的了。须知，极限法微积分求的可是（3）式的趋0极限，而不是2x+△x的趋0极限，但结果却想方设法或糊里糊涂地以后者充当前者，能不错乎？

这里不妨再小结一下：自变量的函数值如果△x=0，则不能在分母上。但自变量的趋0极限值（即使是不可达极限）△x→0难道就不等于0了？这里的△x→0=0，固然不是△x=0，但毕竟也是0。是0，就同样不能做分母，也就是分母不能等于0的同时，也不能趋于0，或以0为其极限。因为趋于0，就只能是以0为其极限值，哪怕是不可达极限。极限法微积分只认△x=0，而完全忽视△x→0=0，是一切问题的根源。

对极限法求导问题，我过去的文章中，早已是“刀刀见血”，上面的可谓是“一剑封喉”。此问题简单到让任何人“大跌眼镜”，但即使是笔者本人，也是在最近才领悟到的，这实在是非常奇怪的事。笔者认为，这是一桩甚至比该事件本身更值得研究的事：究竟为什么如此简单的道理，居然这么久的时间，这么多的人（无可怀疑地，其中有很多非常聪明、专业的人），居然就没有察觉到这个在柯西极限法求导提出之初就该被发现的问题。这些也就算了，其实更使我奇怪的，反倒是在对此问题有了清醒的认识多年后，即使是笔者本人，也只是在最近才发现这个如此简单、可以直接的否定极限法求导的充分论据的！这些，都可以既作为一个推理中的现实逻辑问题、也可以作为一个创新过程的具体案例来好好研究，其价值笔者认为根本就不亚于对微积分理论的澄清本身。

2、更加深入细致、但其实多余的证明与讨论

鉴于极限法微积分（所谓“第二代微积分”、标准分析）统治数学理论、教学界很多年了，有些看法根深蒂固，不是轻易可以扭转的。一些人，无论是出于惯性，还是面子，都会顽强地否定任何非议，提出一些实际并不成立，但可能似是而非的论点来。这里笔者先于这些可能的、但还未见现实提出的论点，预先进行一些讨论与论证，以期驳倒任何可能出现的对笔者观点的反对意见。

也许有人会强词夺理地说，如果△x→0，的确不能除以已经等于0了的△x得到0/0，但却可以先有△x/△x，然后再求△x→0，以得到那个非0/0的极限1。

笔者的回复是：如果上论成立，那么同理，如果△x=0，虽然不能除以△x得到0/0，但不是也可以先有△x/△x，然后令△x=0，而得到非0/0型的函数值1了吗？道理不是一样的吗？如果只允许△x=0的情况下可以先有△x/△x，但同样不能有0/0，而△x→0的情况下却可以先有△x/△x（不是后除△x才得到的），就可以有了非0/0型的极限，如果非这么说，是不是要给个证明？能给出吗？这个“证明”，不是还要先令△x/△x=1，再令△x→0而得到1的吗？那么同理，△x/△x=1后，再令△x=0，又与那个已经得到的1有什么关系？不也还是1吗？所以，这个证明是给不出的。

此外，比如如果我们有增量函数△y=5·△x，当△x=0时以及△x→0时（后者特别重要，过去居然很少被人提及），自然得到0=5·0=0，不可能再做除法或约分得到0/0=5。反过来说，如果真有0/0=5，则可以等式两边乘以0而得到或还原0=5·0=0。反之，如果我们硬要说在△x→0时（虽然此时有约定△x≠0），居然可以有△y/△x的非0/0型的有意义的极限值5，那么，如法炮制，我们更可以等式两边乘以这个不等于0的（即使其趋于0也不等于0）△x，而有△y=5·△x。此时当然△y也绝对不会等于0。注意，这个式子可是在条件不变下得到的，也就是在△x→0的前提条件下得到的。如此，我们自然就只能得到在△x→0时，△x的极限不为0，而为1的反常规的结论，也就是错的结论。因此，可以由此证明，△y/△x在△x→0时根本就不可能有非0/0型的有意义的极限值（这个例子下就是“5”）。

我们还可以随意举一个例子，比如在x→0时，求（sinx）/x2的极限。按罗比塔法则，此趋0极限为（cosx）/2x=1/0=∞（见方源、王元著«微积分（下）»P72）。可见，分母还是随x→0而趋于0的。就算还有人强辩称不是等于0（不是=0），而只是x→0，但按上式，也应该在分母上是趋于1/∞（即→1/∞）。而不是有限的极限值。因此，如果同理，在

△x→0时的△x/△x，就也应该同理得到∞/∞，而不是期望或一般认定的1。而∞/∞被公认为是不定式，不能有（∞/∞）=1。因为显然（∞/∞）=5等等也未尝不可。因为∞=5·∞对无穷而言应该也成立。

此外，可以再举一个与上面相似的更简单的例子。如有1，除以△x，得到1/△x。当然，△x=0不行（1/0不行）。如行，则有1/0=∞，那分母不能为0的规定或限定就不能成立了。或者如△x→0下（1/△x）=∞，不能有1/0。而在△x=0时，却可以有（1/△x）=1/0。但如此，比如在△x→0时，由△x/△x就会得到△x·（1/△x）=0·∞。同时也可以有在△x→0时，△x/△x=（1/△x）·（1/(1/△x）)=∞·（1/∞）=∞/∞，仍是不定式，不能等于1。

同时，如果在△x→0时，直接有（1/△x）=∞，而没有1/0之类的结果出现，那么在△x→0时△x就应该等于（1/（1/△x））=1/∞，而不是△x→0时△x的极限为0这个结论。显然，这是不通的。

由上面的讨论可知，说如果先写下△x/△x或1/△x，就可以在△x→0下避免出现0/0或1/0的情况（即只是得到极限1或∞），是不能成立的。是会得到与已知结论相矛盾的结果的。

另一个角度看，如果△x→0时△x/△x的极限等于1，则我们同样可以有先令△x/△x中的△x→1，再令△x→0，极限当然还是1；或就令△x/△x中的△x→1，极限也还是1；甚至在△x→0时△x/△x的极限等于1的假设下，还可以有先令△x→0，再令△x→1，结果仍旧是1。这四种情况结果在该前提、假设下都相同。则有结论：在△x→1时△x的极限为1；在△x→0时△x的极限也是1。这当然是错的。而一旦如果△x→0时△x的极限为0的话（当然，这才是唯一正确的），则必有△x→0时，△x/△x的极限等于△x→0时△x的极限乘以△x→0时（1/△x）极限，也就是0·（1/0）=0/0，得证。当然，这个所谓的“极限0/0”，不是一个有意义的极限，而是个无意义的不定式。

笔者之所以大费周章地讨论这些实际上几乎是显而易见的事实，是因为对分母上有自变量的比式的趋0极限问题，其谬误几乎遍及教科书的任何角落。坦率而言，整个极限法微积分就是建立在这个谬误上而不自知的。因此，有必要彻底澄清。但笔者必须严正声明：极限法微积分有问题，不是微积分不对，而是应该彻底回归牛顿-莱布尼兹其实完全合理的微积分，堂堂正正地为所谓“第一代微积分”正名。而能够做到此点的，只是需要一个对导数的新的诠释。具体明确地说，就是需要笔者提出的关于导数的新的定义而已。只要给出了这个新的定义或诠释，牛顿-莱布尼兹的“第一代微积分”就完全可以无矛盾地畅行无阻了，也不会产生贝克莱悖论了。因此，且不说所谓的“第二代微积分”对否，它根本就不需要了。更何况它还是错的，也就是暗含矛盾的（贝克莱悖论仍旧隐性地存在）。详见笔者前期系列文章。

3、距离、某时段走过的距离、速度（单位时段走过的距离）之间的区别

不得不说，就是这三个量的没有严格区分，才最终导致了微积分求导方面的疑难。这三者，看似区别十分明显，但正是在数学中一般没有涉及物理量纲，所以实际被混淆了。否则何至于有什么悖论？比如，就还拿最简单的函数△x/△x作例子。严格地，可以认为1是单纯的距离，1/1是单位时段的走过的距离，也就是速度为1。△x/△x是随不同的时段走过的距离，尽管其数值也是1，也就是可以折合成单位时段走过的距离。但它毕竟不是单位时段。分母上的那个△x，表示变化的时段，分子上的那个△x，表示随时段同步变化的距离。这是不同的。速度这里是恒定的，但随变化的时段变化的距离，当然是变量，其所谓“消去分母”后的比值（也就是分母即时段值折合成1时的值）当然是恒定的。但是当时段等于0或趋于0时，自然有0/0，其含义是既然时段等于0了，或趋于0了，那么，自然就不会再有什么折合成时段1的事了，也就是其合理的比值在0点没有了，只有0/0了。明确说，

△x/△x本身在△x=0或△x→0时，都是0/0，也就是没有有意义的函数值或极限值。但如果先把二者变为1/1或1，也就是先折合距离与时段之比为单位时段之比，这个操作本身，是可以在△x=0时点有其不可达极限值的1或1/1的。明确说，只要△x≠0或虽然△x→0但并不取到这个极限值而仅仅是在这个趋0的过程中，这种把分母折合成1的“操作”就可以进行下去，并在△x=0点有其不可达极限值（可以理解为不能到达的目标点）仍为1。这反映了如此操作下在△x=0点虽然有一个“目标”为1，但却是一个永远到达不了的目标。虽然如此，可其毕竟是个“目标”，也就是可以无限地接近这个“目标”。但要明确，单纯的△x/△x，在△x→0时是指的无限变小并取其极限值（目标值）为0的时段下，无限变小的距离并且取其极限值（目标值）0时，二者不可能在此时刻还有可以折合成单位时段（时段为1）的有意义的比值，因为显然，此时的时段值为0，也就是根本就没有了非0的“时段”，而只有本身为0的“时点”（时刻、瞬时）。它如何还能折合成1？此时这个所谓的“比值”当然只是趋于0/0最终等于0/0的，哪怕其为无意义的不定式也罢。而先约分△x/△x为1/1或1后，等于先折合其成单位时段的比值了，也就是只要时段△x不归0，就可以这么做（指折合成单位时段），也就是“可以这么做（指折合时段为1）”这个性质，也仅仅是这个性质，是可以趋于0而始终被保持的，也就是可以以时段0为其不可达极限点（不可达目标点）的。注意，是不可达极限点。在此时点的不可达极限，是1/1（本质还是一个比值），简写可以就是1。换言之，只要还不是到达了这个时点（时段0），就可以进行这种“折合”。而原先的△x/△x，是不去进行这种“折合成1操作”情况下，当时段趋于0时的比值，它在时段为0的点的极限，自然就不会再是“折合成1”这个操作性质的本身的极限（根本就没有折合，怎能有这个折合的操作性质呢）1了，而只能是无意义的0/0。这三者之间的重要而细微的区别，坦率而言，从来就没有被彻底澄清过。由此，怎么能不产生悖论呢？特别是注意到任何教科书中的导数定义，都是直接定义在△x/△x之类分母上有自变量的函数上的，而我们实际所要求的，是分母不为0的折合概念的速度。这就是问题的根本所在。

4、罗比塔法则的相关讨论

经常有人说对0/0型的函数在某点的极限问题，就用罗比塔法则解决。这当然是确定的。但必须牢记，该法则是推论，不是导数的定义。否则就是本末倒置。明确地说，绝对不是因为罗比塔法则可以实际地、在操作层面解决0/0型函数的导数问题，就不存在求导中的由0/0引发的问题了。否则一个罗比塔法则，就可以解决牛顿-莱布尼兹的第一代微积分的求导问题（也就是贝克莱悖论）了，还要柯西的第二代微积分也就是极限法微积分做什么呢？但是，未求甚解的一些人，往往会这么说。因此，应该给以简略的讨论。

罗比塔法则在笔者提出的导数新定义下，自然其解释也必须是新的。这就是“两函数在某点的切线增量之比，等于其各自在该点的导数之比”。这个几乎就是显然的。它的证明是极其简单的，甚至根本就谈不上什么证明，它几乎就是顺理成章的，特别重要的是，它完全不需运用极限。而基于传统极限法微积分的罗比塔法则，与其导数一样，其解释是有缺陷的。而在笔者诠释下，直接由中值柯西中值定理，就自然得到罗比塔法则（在笔者前期论文中提出的“导数的第二定义”下）。此外，笔者新导数定义，是直接定义在切线上的宏观量，过空间上同一个点上两条不同的曲线，自然会有两条不同的在该点的切线，二者的斜率之比，当然是存在的。我们仍旧以最简单的△y=△x为例来说明。这个式子，可看成是斜率为1的直线增量方程，系数k=1而已。即

△y=△x=k·△x=1·△x。于是，△y/△x=△x/△x=k·△x/△x=1·△x/△x=1·（1/1）。可见，在笔者的导数新定义下，我们求的是k=1，而不是那个△x/△x=1/1=1。更不是△x=0或△x→0时的情况。在x=0点，这个增量△x≠0。在x=0时（其实包括x→0）,x/x=0/0，符合罗比塔法则的条件。而按新导数定义，我们这里实际求的不是直接依赖x的情况，而是△x≠0时的△x的情况。即

△x/△x=（△x/△x）/（△x/△x）=1/1。

必须严正指出，传统极限法微积分对罗比塔法则的证明是不成立的。见方源、王元«微积分（下）»P71～72。有严重的错误。其对柯西中值定理的运用，有明显的问题。柯西中值定理是说，两个函数的增量之比，等于二者中值的导数之比。但当三个点重合时，也就没有了什么“中值”，增量比的分母，会出现0。得到0/0。即使趋于0也是如此。没有本质区别。因此，这里传统极限法微积分所作的，与其求导过程一样，也是令一个比式的分母趋于0。只不过这里是用中值的导数比来代替了、掩盖了那个0/0。于是，就认为没有这个0/0了。这是典型的因果倒置。只有在笔者的诠释下，才可以彻底解决这个矛盾。

5、ε-δ对极限定义的局限性相关讨论

先澄清两个概念的区别。如果我们说△x→0，是指的以0为极限值，它取的就是这个极限值，哪怕是不可达极限。而如果有△x→ε，其中ε表示无穷小，而无穷小就是小了还可以再小，于是说一个变量趋近于这个“小了还可以再小”，或以它为极限，这只能说明我们实际取的是这个不可达极限0的过程，而不是这个极限值本身。这时，我们也可以说（实际是定义）我们以无穷小ε为其极限值。不是以空间一个固定点为极限值，而是以一个小了还可以再小的“动点”为极限值，实际就是等于取一个永不完结但越来越小的动态的过程本身，而不是作为固定点的其不可达极限值。

传统ε-δ法讲的是，当一个量小于任何量时，另一个函数量也会小于任何量。但它并没有说两个这样的量之比会怎样。如果作为比值的两个（分处于分母与分子上）小了还可以更小的量（即趋于0的量），各自当然符合ε-δ法，但正因为如此，这个比值，由于分母、分子上的这两个量都是趋于0的，因此极限实际是0/0。否则怎么还会有它们二者都分别符合ε-δ法的定义或描述？这个情况，传统ε-δ法是没有涉及的。这是一个不小的疏忽，因为极限法微积分求导求的正是这种情况。而如果由约分或除法消去分母上的自变量，在前提当然是自变量不能取0值或以0为其极限值。或者虽然0是其极限值，但不取它，而是仅仅取趋于它的过程本身，也就是前面说的等价于说以无穷小ε为其极限值。所以，没有消去分母的情况，就等于以0/0为其极限值，也就是没有有意义的极限值；而消去了分母的，等价于以无穷小ε为其极限值，也就是取的不是作为固定点的0这个极限值，而是到达0点之前的过程本身。这就是二者的区别，以使得极限理论更趋完善。而原先的ε-δ语言，对极限而言，是不完备的。因此，我们需要做的，是充实ε-δ法或指出其局限性以囊括分母有自变量时的情况，而不是削足适履，强令约分消去分母后，再令其去适应ε-δ法表述的情况。

二、传统微积分基本定理（牛-莱公式）在使用三明治定理证明时的失误及其正解

著名的三明治定理（夹逼定理）在任何一本教科书中都有，此处从略。但应注意，其三项间是由小于等于号“≤”相连的。但是，无论是在三角函数sinx/x的趋0极限的证明中（前期论文已经讨论了，此文从略），还是微积分基本定理的证明中，在使用中居然都有失误。这两个重要的证明中，都涉及

f·h≤S≤j·h

................................................（4）

这样的结构。当h=0或h→0时（后者以往被忽略），显然由（4）式不会得到0＜0＜0,而只能是0=0=0。不等号此时不成立。

而当h≠0并且没有h→0时（参见第一节的讨论），自然可以对（4）式各项都除以一个h。同时，如果不是f、S、j都恒为0，或f与j不是恒相等，就得到

f＜S/h＜j

..................................................（5）

注意，（5）式中是不等号“＜”，而不再是“≤”，等号没有了。h不能等于0，同样理由也不能趋于0（以0为极限值）。因此不可能再有0=0=0或f=S/h=j。由于等式不再成立，所以这种情况下三明治定理失效。因此无论三角函数还是微积分基本定理的证明不成立。以下具体讨论。

微积分基本定理（牛-莱公式）的证明，在任何一本教科书中都有，比如方源、王元所著«微积分（上）»P207。因此这里不再完整地复述。只是在证明微积分基本定理的“第一部分”（或“第一微积分基本定理”）时，由关键的一步，即从

f(u)h≤F(x+h)-F(x)≤f(v)h

...............................................（6）

在“由于h＞0”（该书中语。实际按本文第一节的讨论结果，就是h≠0，同时也不能h→0）。在这个前提条件下，自然可以在（6）式中各项中除以一个h。按该书（其它教材也一样），得到（其中中间一项(F(x+h)-F(x))/h，在该书中明确说是由“其中h≠0”得来的）

f(u)≤(F(x+h)-F(x))/h≤f(v)

................................................（7）

上式实际上是错的。因为如果f(u)≡f(v)，则（7）式中只有等号成了，“＜”号不成立。但这种情况无意义，函数f是一条水平直线，我们要求的是一般的曲线情况。而由条件h＞0（就是h≠0，同时也不能h→0），（7）式中等号不成立，实际只能得到

f(u)＜(F(x+h)-F(x))/h ＜f(v)

........................................（8）

（8）式既是在“不能有h→0的前提下”得到的（即不能以0为极限值或极限值为0），同时也说明不能由（8）式求得在h→0时的极限值，二者实际是一回事。因为在h→0时，（8）式为A＜B＜A类型的式子，显然错误（怎么会有A＜A？）。因此，方源、王元的«微积分（上）»P207～208的证明是错误的。

此种错误，与传统上用三明治定理证明三角函数sinx/x的导数时所犯的错误是一类的（可参考笔者前期有关论文）。

此外，从另一个角度，也可以看出问题：如果以函数f为纵坐标，h为横坐标，F为曲线的定积分。如此，（6）式表示的就是三个面积。f(v)h为曲线最高点引水平线下面的方形面积，f(u)h为曲线最低点引水平线下面的方形面积，F(x+h)-F(x)为曲线本身下面的面积[参见方源、王元的«微积分（上）»P200图5.3.1（图中m= f(u),M=f(v)）。列于本文附录中]。显然，当h=0或h→0时，方形的面的横边（横坐标）为0或以0为极限值。传统上用三明治定理求微积分第一基本定理的本质，实际是想用方形面积的一条边（横边）的等于0或以0为极限值时（此时该方形面积也必然等于0或以0为极限值）来求构成方形面积的另一条此时不为0的边（即此时作为纵坐标的f）。如此，不要说在操作中使用除法除了一个此时为0的h，因此有了分母为0的问题，就算不除，用这种方法都求不出f。因为当方形的面积等于0或趋于0（0为极限值）时，其一条变必然为0或趋于0（0为极限值），而另一条边的长度可以从0到保持原值，也就是根本就不定，如何能够用这种方法求出来？所求出的，只能是面积0=0=0而已。

当然，指出传统极限法微积分在微积分第一基本定理的证明过程中的问题，并不是要否定这一重要的定理。那么，如何解释微积分第一基本定理呢？事实上，仍旧需要笔者的所谓“新导数定义”（见前期系列论文，这里不详述）。如果在导数的新定义下直接求导，完全可以只由增量函数而不由增量比值函数，也就是不需要什么分母上的自变量（这里是h）来参与。即，直接由（6）式求导，把其中各项都看成是直线方程。h是自变量，而f是直线方程的系数，也就是斜率。按新导数定义，它就是导数。注意，由于此时没有除以h、消去h的问题，因此式中“≤”号仍保持始终，即等号是可以保留到最后的。这就完全无矛盾地解决了前述传统用三明治定理求微积分第一基本定理的隐含矛盾问题。而如果我们仍在（6）式各项都除以h的老方法下来处理问题，当然也可以，则此时h除以h（即h/h）实际只能得到1/1=1，这在笔者很多文章中都详细讨论过了。“消去”这个h（实际先得到“1”，再消去这个“1”），或不消去都是可以的。反正它不等于0，而实际可以是非0的任何数，只要足够小（完全不必是无穷小）。如此，我们自然是可以有等号保持始终的（7）式的，而不必非是不允许等号出现的（8）式。这是因为，（8）式如果是必须的，是因为传统极限法证明中对三明治定理的使用中要除以增量h，如此，必然有h≠0、同时也不能有h→0的要求。而传统上极限法的做法中，又只是在h→0（或实际h=0）时等号才成立，因此矛盾。因此自然等号不能有，即（8）式中只能有“＜”而不能有“≤”。但在笔者的新导数定义及其求法下，h始终是不等于0的，于是“≤”当然保持始终，也就是可以在h≠0、同时也不能有h→0的前提下得到最终的等式。怎么得到呢？传统上由三明治定理求微积分第一基本定理，是试图由（7）式两边项f中的h趋于0，而求得中间项F的增量比值函数的值（前文已述，这是不行的）。现在是反过来了，如果h不等于0，则增量函数（（6）式）或增量比值函数（（7）式）的中间项（关于F的的增量或增量比的），都是有确定值的，在此确定值下，由中值定理，必然有唯一的f的值。这在方源、王元的«微积分（上）»P200图5.3.1（图中m= f(u),M=f(v)）可以很明显地看出来：曲线下面的面积，必然有最大方形与最小方形之间的某方形的面积与之相等。此时f中的u=v，为中值定理意义的“中值”（不是几何意义的“正中间的值”）。此时，没有了原公式中的u→x、v→x，也就是h→0。而代之以u=v。而此时h是可大可小的，一切以需要而定。最小，到无穷小也无妨，但不能是0或趋于0的极限值（因它还是0）。

以上，就完满地解决了微积分第一基本定理的证明、解释问题（坦率而言，说是“挽救了它”，亦不为过），并赋予了它全新的、无矛盾的解释，不需要什么趋0极限的解释。这一点也不奇怪，在笔者关于导数的新定义下，稍加分析，也只能唯一地得到这个结果和诠释。从此，积分明确地定义在了非0的区间之上，而与趋0极限再无瓜葛。其内在矛盾不再存在，而微分与积分的关系，就是大与小的增量之间的关系，使二者间的关系变的极其简单，也完全符合积分的累加性质，不再与什么小区间的长度趋于0、区间数趋于无穷之类的令人费解的、其实根本就没有也不可能有像样证明的玄虚费解概念有什么瓜葛。而导数与积分的关系，就是区间中值（中值定理意义的）的切线斜率。也就是曲线上与这个中值切线斜率平行的割线的斜率。这本质上就是中值定理所表述的。

鉴于在笔者的“增量分析”诠释下，才可以赋予微积分基本定理的无矛盾性，并且其基本概念的含义（比如几何概念上）也与传统意义的微积分基本定理不同，因此，我们不妨就称其为“新微积分基本定理”以略示区别，防止混淆。

三、传统上三明治定理的使用在处理自变量在分母上时的失误，虽然没有证明微积分基本定理和三角函数求导问题，但却意外地可以证明极限法微积分求导的不成立

这一点实际上已经是无需多言的了。这里不过指明而已。由上节讨论可知，既然增量h→0（其趋0极限值当然也等于0）与h=0一样，必须在除以h前被否定，也就是h作为分母前被否定，那么作为对（6）式除以h后得到的（7）式就不能再有h→0的极限。因为这是可以做除法的前提之一。否则就是因果倒置的逻辑错误。此外，对（8）式而言，在h→0时得到A＜B＜A（即有A＜A）类型的不等式，当然也是错的。

传统上由三明治定理无论是求三角函数sinx/x的导数，还是证明微积分基本定理，都是要有由增量函数先除以增量h以得到增量比值函数这一步的。而传统上极限法微积分求导，是直接先列出增量比值函数△y/△x，然后消去分母上的自变量△x。正是这一步掩盖了原先的约束条件“不允许h→0”，给人的错觉，似乎自变量在分母上时，0点的函数值没有了（为无意义的0/0了），但趋0极限值还有。但是，在三明治定理的上述运用中，分母上的那个自变量h是后除以h得到的，不是事先给出的，于是显然，这个除以h的“操作”前提，必须也要有“不允许h→0”（另一个当然是h≠0）,因为显然地，其值是也只能是0，同样不允许做分母。这实际上就把不允许有趋0极限h→0明确化了。任谁再诡辩、无视，都没有用。

总之，传统上由三明治定理无论是求三角函数sinx/x的导数，还是证明微积分基本定理，其症结都是先假设了（无论是否真的意识到这点）无论sinx/x，还是（3）式，都是有趋0极限的（自然是指的有意义的非0/0型的极限值，现实中是没有的），然后才谈得上由三明治定理求得这个极限。但大概这谁都没有想到（居然！），此时无论sinx/x，还是（3）式，可都不是预先直接给定的（如极限法微积分求导的情况），而是前期各项除以x或h得到的。这就明确要求x、h不能趋于0。使得问题彻底暴露。于是其后的趋0运算（h→0）还没有开始就被禁止了，否则h怎么会跑到分母上去的？

就拿物理上的速度来看，如果h为时间（时段）；f为速度（单位时段、即时段为“1”下的运动距离）；F为运动距离，F=f·h。在方源、王元的«微积分（上）»P200图5.3.1中就是面积。由这个“面积”即“距离”除以为0或趋于0的时段（瞬时、时刻）是求不出瞬时速度的。因为在某“瞬时”（时段为0）“期间”，运动的距离也为0，直接由瞬时求瞬时速度只能得到0/0（在传统瞬时速度定义下）。但在笔者提出的新的瞬时速度定义下，当然就不会再有这个问题。详见笔者过往论文，此处不再赘述。

以往的贝克莱悖论，是由于在求导时（无论牛顿、莱布尼兹还是柯西等的极限法）等式两边一边没有消去分母上的自变量，一边通过约分、除法消去了分母上的自变量所致。而这一点究竟意味着什么，也就是约分就等于是分母为1的这个事实，过去居然没有被人参透，所以产生矛盾（贝克莱悖论）。而在传统上用三明治定理证明微积分第一基本定理时（其实质也是求导），则是各项除以一个增量h，但以往居然也没人认识到这一步不但需要h≠0，也同样需要绝对不能有h→0，否则也会产生矛盾。而这一点是竟然是笔者首先发现、阐明的。二者之间显然是异曲同工的，一个是先列出分母上的自变量，可不可以消去的问题（或消去的条件问题）；另一个是先未列出分母，可不可以然后用除一个自变量（比如这里的“h”），使得加上一个“分母上的自变量”的问题。二者实质是同一个问题的两个侧面，后者可以否定前者，反之亦然。比如，极限法微积分求导（“第二代微积分”、标准分析），因为先列出的是“增量比值函数”，已经有分母上的自变量了，给人以假象，似乎虽然在0点无函数值，但趋0极限值还是有的。前期笔者论文中对“约分消分母”进行了透彻的分析（对分母是自变量的比式约分等于变分母为1），虽然彻底地否定了这一点，但还是间接一点。但对用三明治定理证明微积分第一基本定理（实际也还是求导）的前述分析表明，如果有了趋0极限（h→0），就等于h=0了，于是自变量h就不该再出现在分母上。由此就更加直截了当地否定了极限法微积分求导可以成立的任何理由。

四、新微积分第二定理的诠释

微积分第二定理的证明依赖于第一定理的证明，很容易，不再讨论。但对其全新的解释，则应该紧紧抓住中值定理：中值点（当然是中值定理意义的，而不是正中间的点的意义的）的切线斜率，在数值上等于与其平行的割线斜率。中值点、割线上的两个交点（或一个交点和函数的增量），三个元素，如果知道其中两个，必可求出另一个。就以二次曲线为例，设切点（中值点）为x1，割线的左交点为x，增量为△x，则切线的斜率2x1等于割线的斜率2x+△x，即有2x1=2x+△x，可求出x1=x+△x/2。由此可知，区间△x完全可以根据曲线的具体情况和所需来随意地定义其大小，小可以到无穷小，也未尝不可，大可以全部所谓的积分只有一个区段△x。即新微积分第二定理，完全可以有

△F=中值的切线斜率·△x=与前面切线平行的割线的斜率·△x

.................................（9）

当然，按前面的思想，根据需要，我们当然可以把完整的一个区间△x分成所需要的随意多个子区间△x1、△x2、△x3、.....△xi........等等。于是，（9）式就可以变为（用ki表示各段斜率）

△F= △F1+△F2+△F3+.......=∑ △Fi=∑ ki△xi

...................................（10）

这里的每一个ki△xi或 △Fi，都有（9）式的形式，不过区间为△x的子区间△xi而已。

注意，这里的新定义下的“积分”，就是累加。随区间的不同，只一个也行，加多少个都行，完全随需要而定。此时再也不需要什么小区间△xi的趋于0或区间数趋于无穷大之类的不但牵强，而且隐含矛盾的传统说法（小区间是0吗？如是，积分也是0。如是无穷小，则必有误差，是贝克莱悖论在积分中的翻版）。也彻底化解了广受诟病的自变量的微分dx=△x的定义问题：事实上，现在终于可以知道了，所谓“微分”，就是非0的增量。也就是所谓的“测度”。dx=△x不但是合理的，而且是必须的。在极限法微积分中这个等式之所以会被人诟病，是在那里无法获得合理的解释，与那里的函数的微分定义冲突。而传统极限法微积分的导数，是定义在不可达极限点的，它与测度是有本质区别甚至矛盾的。这个问题在新理论下不复存在。又由于不用再有什么趋于0、趋于无穷大∞之类的说法，积分符号∫完全可以取消。或者重新赋义。

以上内容，完全可以图示出来，笔者前期论文中有，这里省略。有心读者可以自己去画。

五、微积分求导相关问题补遗

1、一个数，与这个数加一个分母1，究竟有没有区别？比如5与5/1？传统上，二者没有区别，是一回事。我们说，仅在“数值上”，二者当然没有区别，但就二者传递的信息而言，应该视为有区别。如单纯的“5公里”，与“每1小时5公里”，含义能一样吗？当然不一样。但二者的“数值”一样，也仅仅是“数值”一样。二者的“物理量纲”一个是“公里”，一个是“公里/小时”或更具体些是“公里/每1小时”。但如果不用量纲，仅从数值上是无法区分的。为了在数学上更广泛的意义上反映这种区别，而不仅仅是在（或借用）具体物理问题中的概念（可用量纲来体现）才凸显这一问题，现在可以定义，比如“5”，就是“5公里”、“5个”之类。而“5/1”，为“每1小时5公里”、“每1份5个”等等。如此，则可以不列具体量纲，仅在数学定义上，就足以反映出二者的区别了。比如只要一写“5”，就知其含义是单纯的一个量“5个”、“5公里”等等。而一写“5/1”，就知道这是一个比式，是两个量之比。除非把量纲写出来，才可以使二者等价，也就是“5/1”中的那个“1”可以不写。但此时量纲必须写出。否则无法与原先的反映一个量的“5”区别开来。比如说“5公里/小时”，当然可以。写出了量纲，就不必非得再写“（5/1）公里/小时”了。但在不写量纲时，5与5/1应该不同，原因是它们原本就不同，其表达的信息是不同的。如果对这两种情况不加区分，有时会产生相当严重的错误。比如极限法微积分求导。这么多年，就是没有参透这种微妙的区别，才致使约分消去分母上的自变量后，把分母上原本应该有的那个“1”随意地、武断地去掉了（美其名曰“消去了”），似乎那个“1”是不该有的。注意，这里甚至还不是“可有可无的”。因为既然“可有”，索性就在分母上加上这个“1”，你看还能得到分母上的自变量趋于0这个极限吗？它不明明是等于1或趋于1的吗？总之，这个问题不澄清，数学经常被标榜为最严谨学问这一点，就会被打一个大大的问号。

事实上，笔者始终认为，在数学中（其实绝不仅仅是数学）如果两个符号不同，在同一个数学公理体系中，就应具有不同的含义。甚至同一个符号在公式中的位置，都会有不同的含义（把位置本身视为一种特殊的“符号”）。比如1=1，按一般的理解，就是同一个“1”，因为两个1的数值相等。但是，在1=1中，不是有“等号左边的1”和“等号右边的1”之分吗？这不是区别？如果不是，为什么不直接只写一个“1”了事？这个问题，但似抬杠，吹毛求疵，但实际上在一些复杂些的数学表述、运算中，涉及元素、子集等概念时，就会产生问题甚至悖论、矛盾。这个笔者曾有文章涉及（与同一律作为公理的扩充和进一步的完备有关），此处不详论了。

2、一条曲线与一条直线相交的两个点，不止属于该曲线，同时也属于该直线（割线）。这是个基本事实。否则就不能叫交点。但正是这个事实，却在传统微积分求导（无论牛-莱法还是柯西极限法）过程中事实上被无视。似乎该两个点（交点）仅仅是属于曲线似的。于是，就会纠结于曲线上究竟如何去定义原本需要两个点才能定义的速度与在曲线上某一点定义这个速度（瞬时速度）的冲突问题。这就是贝克莱悖论的实质。如果能充分认识到这两个交点也属于直线（割线）这一事实，我们就完全可以放弃在曲线上讨论问题，而移到直线（割线）上去讨论问题，任何矛盾立刻迎刃而解、不复存在。如此“四两拨千斤”类型的简单问题，居然困扰人们如此多年，就是大家都囿于变速运动下的瞬时速度的定义，只能完全定义在变速运动之上，而不能定义成仅与曲线共一点的直线（切线）上。

3、有不少人认为，微积分就是一个近似。但误差可以无限小，因此无足轻重。比如认为牛顿-莱布尼兹就是在舍弃了所谓“高阶无穷小”后求得了近似值的。但既然极限法微积分求导也是个近似，为什么不直接采取牛顿-莱布尼兹的第一代微积分的近似就算了，还要叠床架屋的搞柯西的第二代微积分干什么？况且说近似是为了简化运算，那么，我们是不是应该再给出一个不去舍弃高阶无穷小的虽然麻烦些，但更精确的导数？数学中麻烦的东西多了去了，还怕这么一点麻烦吗？可见，这个说法根本就不成立。现有微积分求出的，就是一个精确的导数值，而绝对不是什么近似值。我们需要的，仅仅是如何诠释这一现象或事实。具体详见笔者前期系列文章。

4、瞬时速度的定义或表述问题，前期论文早已多次给出。这实际是微积分里的核心内容。此处不妨再重复一下。实际上，速度，就是必须定义在非0的时段上的，比如多长的非0时段内，走了多少路。等等。哪怕这个非0时段可以任意地小，甚至所谓的无穷小也罢。如果一旦有0时段，也就是严格意义的瞬时、时刻，它就没有什么“内”的概念（没有0时段内的说法），也就是不会有什么在某瞬时内云云的说法，于是，在瞬时，只能是物体到达某处、某点，而没有在瞬时本身内的运动距离存在，同样哪怕是无穷小的距离。但这里的0距离可不是0速度。0速度是在某非0时段中，没有运动距离，也就是“静止”。而不是在0时段的没有运动距离，二者有本质的不同。总之，速度，不能直接定义在0时段也就是瞬时上。原因很简单，就是其本原定义已经是定义在某非0时段上的。那么，既然在某瞬时只有“到达”，那么有没有到达或离开的速度呢？这个当然有。因为到达、离开都是运动的附属概念，有运动，就有速度（不运动，还有速度0呢）。但是，一个变速或曲线运动，速度是随时变化的、不固定的，这体现在变速、曲线运动的任何不同大小的时段，都有不同的平均速度，在变速、曲线运动的任何时刻、瞬时，都可以有以其为终点或起点的不同大小时段的平均速度，这些平均速度是不同的，因此如果以平均速度定义瞬时速度是不可能的，因为在某瞬时它根本不定，或可以有很多值（即不同时段的不同的平均速度）。于是可见，瞬时速度，只能是一段恒定的速度或平均速度。什么样的运动才会有所谓“恒定的速度”或“恒定的平均速度”？只有匀速直线运动。因此，既然在某瞬时（0时段）、时刻、时点我们不可能按速度的本源定义（需要非0时段）来定义瞬时速度，那么，作为一个“次级定义”、“派生定义”，瞬时速度必须定义在某瞬时到达某点或离开某点的匀速直线运动的运动速度上。但在该瞬时或该时点，我们明明欲定义的是变速运动或曲线运动的瞬时速度，这怎么办呢？如何解决这个矛盾？幸好在该时点或该瞬时、也唯一地在该点或该瞬时，变速运动或曲线运动与虚拟的匀速直线运动共有该瞬时或该点，于是，我们就定义这个虚拟的匀速直线运动的速度就是该变速或曲线运动的瞬时速度。反正这个瞬时速度概念，也不是本原的速度概念，而是一个前述“速度的次级概念”、“派生概念”。但是，这里自然还有一个问题：在该瞬时或该点的匀速直线运动也可以有很多甚至无穷多，选哪一个呢？如果说选在该瞬时该点的瞬时速度一样的匀速直线运动，这不是典型的循环定义吗？不行。我们用物体的动量来定义。动量，是物体的速度v乘以物体的质量m，即vm。它是物体本身固有的性质，与外力无关。当然外力是可以影响物体的动量的，但这只是外部对物体动量的影响，物体的动量本身，并不包括这个外力。于是动量中的物体速度v，只是该物体不受外力意义的速度，而不受外力物体的速度，只能是匀速直线运动。变速运动和曲线运动，都要时刻受到外力的作用才可以实现。那么，变速运动与曲线运动的物体，难道就没有动量了？当然不是。而某瞬时的物体动量，当然不能由该瞬时的本源性速度来定义，因为此时时段为0，无法定义本源的速度。但在该瞬时与该时点，可以有到达（或进入）与离开速度，但这种速度如欲确定，只能是匀速直线运动速度，这就与物体动量是物体运动本身的性质而与有没有外力无关的事实相吻合了（外力当然可以影响物体动量，但物体动量不包括这个外力作用）。于是我们定义，变速或曲线运动（有加速度的）的瞬时速度就是在作变速运动或曲线运动的具有某质量m的物体在某瞬时或某时点的动量，与在该瞬时或该点动量相同，也具有相同的质量m匀速直线运动的运动速度。注意，这里速度v是矢量，有运动方向的。动量相同，意味着方向也相同。匀速直线运动的方向是固定的，没什么好说的。但曲线运动的方向随时在变化，在某瞬时的运动方向，实际就只能定义成在该瞬时与曲线运动物体会合（重合），但其后立刻分离不再重合的直线运动方向，这就是切线方向（切线的确切定义，见前期笔者文章）。于是，这里给出的瞬时速度定义，与笔者以往的定义“变速或曲线运动物体的瞬时速度，是在该瞬时该点该物体突然不再受外力作用时所作的匀速直线运动的速度”相互吻合与印证了。二者实际是一回事。但此处的表述，似乎更为深入一些，把更深层次的“动量”牵涉进来了。这相当与给出了一个更充分的理由。至于其几何意义，就是曲线的切线的纵横坐标的增量比。

对于很小甚至无穷小的时段，有没有像很多人认为的那样变速、曲线运动与匀速直线运动重合（速度自然也一致）的可能呢？没有。因为变速、曲线运动，随时段的减小，以至无穷小，其固有的性质变速、曲线是一直保持着的，不可能是匀速直线的运动。任意小或无穷小时无变化，哪里来的宏观意义的变化？况且此时外力是始终加之于该物体的，难道一个持续的外力，在无穷小或足够小的时段就可以不起作用了？这还叫“持续作用”吗？可见，此论不通。

5、传统微积分之所以会产生贝克莱悖论（实际当然只是“佯谬”。不是真正意义的逻辑上的悖论。先是牛-莱法求导，后来经笔者分析，柯西的极限法求导也实质一样），其根本原因经笔者充分分析揭示，就是通过约分消去分母上的自变量这一步所致。所以如欲解决此悖论，必须要仔细分析“去分母”这一步，把它吃透才行。无论历史上还是现时中，有很多质疑传统极限法微积分求导的人和文章，应该说，他们都不同程度地走在了正确的道路上。但所有没有涉及传统微积分求导的必要步骤“去分母”操作的，都没有击中要害，都不能正确地解释贝克莱悖论究竟何以会产生的缘由。他们只能最多做到指出（当然是正确的指出）“贝克莱悖论问题还是没有解决，仍旧存在” 等等。至于那些根本看不出柯西极限法微积分求导有什么问题的人，或极其草率一口咬定极限法微积分没有任何问题的人（甚至在看了笔者文章之后）， 除了在笔者与识者、后人面前暴露其数学、逻辑的真实水平外，我看不出会有什么建设性的意义。

6、ε-δ极限语言所蕴含的逻辑问题。在任何教科书中（这里不再重复），这个已经被看作“经典”的语言的定义或表述中，用的都是小于号“＜”而不是小于等于号“≤”，这显然是为定义要兼顾“不可达极限”所专门精心准备的。不可达极限，在极限点是没有函数值的，如果用“≤”，则成了可达极限，失去了普遍性。但如此一来，小于可以任意小的，就不会是固定的量或数，而只能是一个变量。因此，这个变量只能是无限接近某值（极限值），但永远不能到达该极限值的变量，这实际就是一个潜无穷的概念。于是，整个所谓的标准分析（极限法微积分、第二代微积分），实质上都是建立在潜无穷观上面的，这实际上并不是秘密。但是，无论数学分析还是微积分所要研究、表述的真实的物理、几何对象，都是有确定值和确定点的，不可能允许有什么无限接近，但根本就永远不可到达的值或点（马克思明确否定有这么回事，认为是“昏话”。罗素也有类似表述）。于是，标准分析等于是又令这个不可达的极限点，也就是原本没有函数值的极限点，就是一个新函数的函数值点。如此，就算是或自认为就没有了上述问题和矛盾了（此处还没有涉及分母为0不为0的问题，也就是这个不可达极限究竟存在不存在的问题）。这种典型的“移花接木”的做法，在标准分析中是作为规定、定义出现的，但往往“假装成”或摆出一副“讲道理”、“推导”的架势。这种定义的本质，与芝诺悖论中的阿克琉斯与乌龟的赛跑可说是异曲同工：它等于是先承认芝诺的表述或推理正确，即阿克琉斯确实永远追不上乌龟，只能永远接近（这不就是典型的不可达极限概念吗？），然后把这个不可达极限点（乌龟位置）定义成一个新的“函数”，于是在这个新函数下，阿克琉斯就算追上乌龟了，与事实相符了。这种所谓的解释（实质是个定义），能算解释？而标准分析（极限法微积分、第二代微积分）实际干的就是这个事。

经常会看到一些人，居然说极限法微积分解决了芝诺悖论问题。实际上这两个问题在逻辑上是等效的，是一回事。与其说前者解决了后者，还不如说后者更直接地揭示了前者的问题。

ε-δ极限语言既然有上述问题（笔者前期论文中也多有表述），那么，所有用到这套语言的地方，比如定积分的一些定义、证明，都不能成立。都必须用笔者的“增量分析”思想重新解释。笔者前期论文中都有涉及，这里不赘述。特别应该强调的，以上问题还只是在假设不可达极限确实存在的前提下的。对分母上有自变量且求其趋0极限的情况，连这个不可达极限还都根本就没有（有也是0/0）。这个，笔者前期论文和前文已经充分讨论过了。因此，在这个意义上，极限法求导可以说是有“双料问题”。无论哪一个，都是致命的。

7、传统微积分求导公式，无论牛顿-莱布尼兹法函数柯西的极限法，各项之间都是由等号相连的（任何教科书中都有，此处不再列出），于是，各项之间的逻辑关系，必是互为充分必要条件的。否则就不是什么等价关系，也不应该用等号相连。既然如此，当然该式就是可以左右互推的。如果从右反推该求导式，还是以二次曲线情况为例，就是明明一个导数是有意义的2x的函数，可以居然推出其导数是无意义的不定式0/0的情况。既然如此，那么同理，在公式是等号相连的前提下，传统的求导也就是从左往右的推导，虽然表面看是推出了有意义的导数值2x的，但当然就是由原本是无意义的不定式的导数0/0，推出的这个2x。二者，当然都是错的。前者错，后者也一定错。这一点，笔者前期论文早有论述，这里再强调一次。

有人还要强辩，说微积分求导，就是从左至右推的，不能反过来由右至左推。如此，就请不要用等号连接式中各项。因为如此一来，等于承认这个推导的正确性（充分必要性）是没有得到证明的，因此也还是不行的。

8、传统极限法微积分求导（第二代微积分、标准分析）公式（所有教科书中都有，此处从略），当然只是涉及一个点，也就是趋0不可达极限点或导数点。既然“不可达”，就说明在此点没有函数值（有也是为0/0），起码原先是没有的。然后，算是“求出”了一个在该点的不可达极限值（实际还不存在。见前文及前期论文。这里仅仅是假设这个极限存在而已），又令或重新定义这个不可达极限值为一个新函数的函数值，再将其定义为该点的导数。任何教科书，几乎都是到处为止了，也就是只谈一个点，其它点不再置一词了事。这叫不求甚解。实际上是很显然的，对函数上的任何点而言，都是如此的，也就是原先函数上的任何点的导函数值都没有，或都是0/0，然后认为任何点都有不可达趋0极限值（非0/0型的。必须强调，实际连这个也没有，这里不妨假设其有），于是，就令（定义）这个非0/0型的不可达极限值就是新导函数的函数值。一旦我们把一个孤立点的情况顺理成章地扩展到定义域中的任何点，极限法之荒谬性立刻暴露无遗：一个点“不可达”，也就是没有函数值也就算了，难道还有处处都“不可达”，也就是处处都没有函数值或处处函数值都是0/0的函数？或在处处函数值都是无意义的0/0的地方，我们却可以有或求出处处有其非0/0型的、有意义的极限值来（尽管是不可达极限）？如果只是孤立的一个点，特殊，还好办，好定义。现在点点都是如此，全域如此，也就是这个所谓的函数在任何点的值都是0/0，但却在任何点都还有或能够求出一个非0/0型的不可达极限值（按笔者前期文章，这里的“不可达”是所谓的“绝对不可达”。此处不赘述）。这还没完，还要再定义这些非0/0型的不可达极限值形成一个新的函数，叫导函数。原先没有这个函数（处处为0/0，即处处没有有意义的函数值），但却处处有非0/0型的绝对不可达极限，然后这些极限值又组成一个新的函数，代替原先的那个处处为0/0或处处没有有意义的函数值的“非函数”。也就是，极限法微积分求导，本质是从一个根本就不存在的函数出发（点点函数值为无意义的0/0的），却求出了其点点都存在的绝对不可达的极限值（非0/0型的、有意义的），然后又用这个没有函数值的极限值（不可达极限），去定义了一个新的函数值，这就是我们得到的、或非令我们接受的所谓的“导函数”！一个人某时刻死了，在死之前他都是活着的，于是在他死的那一刻的不可达极限也是“活着”的，也就是在他死的那一刻，他是以其“活着”为极限的，也就是目标的（极限还不是目标，无论达到还是达不到，目标就是目标，也只能是目标），然后，以这个所谓“活着”的极限或目标（注意，还只能是绝对不可达极限或不可达目标也就是“实现不了的目标”或“根本没有实现的目标”！）为一个“新函数”，也就是一个“可以确实实现了的事实”，在这个例子中，就是定义该死人是活的或“还活着”，于是该死人就又复活了。按这个逻辑，这次新冠疫情世界上每一时刻都在死人，而这些人死前都还活着，他们都是以死去的那一刻还活着为其“目标”或“极限”的，于是，我们重新定义“活着”这一概念为“目标、极限为活着”，于是这些人就活了，疫情没有死一个人。请问，这叫什么逻辑？而极限法微积分干的就是这个好事。起死回生、以死为生的好事！

一点题外话：本来一个严肃的“论文”，不该有这样的所谓“例子”出现，也不该有什么调侃类的语言的。但一是本文也不是什么在“正规的”刊物上欲发表的东西，另一个是笔者实在是“忍俊不住”。

9、微分问题。这个问题，也是极限法微积分中比较奇葩的部分。很多人对这个问题是提出异议的，其中包括马克思、莫绍揆等这样的大家。众所周知，牛顿-莱布尼兹时代，莱布尼兹是以dy/dx表示导数的，这个式子的比式意义是很明确的。当然，在他们那里，dx究竟是不是无穷小，是无穷小的话如何可以舍弃“高阶无穷小”的问题一直困扰着他们（贝克莱悖论）。极限法微积分为了“解决”这个问题，或严格说为了掩盖这个问题，就开启了奇葩的“兜圈子”模式。它先是由一个增量比值函数，求其在分母上的自变量的趋0极限值f’(x),往往还沿用莱布尼兹的dy/dx，但又说这个形式上的比式，其实不是比式，只能作为一个整体看待，也就是这里的分子与分母是假的，不能分拆开来。于是，用一个增量比值函数最终求得的，是一个绝对不能是比值的不可达极限。这辜枉称之为奇葩1。然后，又经常用形式上明明是比式的dy/dx来表示这个整体的f’(x)，但又说这个dy/dx这里不是比式，也不可能是比式，因为一旦为比式，这里面分母上的自变量dx就又会有是不是0，是不是无穷小的问题。所以他们不敢。此奇葩2。然后，在定义微分时，写出或定义函数y的微分为

dy=f’(x)△x

...................................................（11）

这里的△x可不是无穷小，而是任意大的宏观量。而此处的dy也一样，是所谓的增量△y的所谓“线性主部”，即其切线的增量。当然也是宏观量。可见，按（11）式微分的定义，其就是定义在宏观增量（自变量）△x上的，而绝对不是定义在同样也可以是一个函数的△x的一般意义的微分（即其线性主部）dx上的。如果事情到此为止，也就算了，可几乎所有的教材都要画蛇添足，硬要定义一个特殊的微分dx=△x，或虽然不是直接定义，但拐弯抹角地，先写出一个特殊的函数△y=△x，其导数为1，再按（11）式写出去微分式

dy=1·△x而又由于y与x是同一个函数，势必dy=dx，于是有dx=△x。代入（11）式，有

dy=f’(x)dx

.....................................................（12）

非要写成（12）式，究竟是什么意思？目的何在？既然有了dx=△x，就是承认二者是相等的，那既然如此，（11）式不是挺好，何必非得拿一个特殊的dx，去和普遍的dy搭帮相互混淆呢？须知，作为比如另一个自变量t的函数的x，其普遍意义的微分dx原本是一般地不等于其增量△x的（dx仅仅是其“线性主部”）。这就是广受诟病的同样的一个符号dx两用的问题，作为函数时，其表示线性主部，不等于其增量△x，即有dx≠△x，而作为自变量时，其又等于其增量，也就是有dx=△x。但这两种情况同时出现在同一本书，同一篇文章，甚至同一页时，如何区分？这不能不说是奇葩3。事实上，极限法微积分在此处是有其苦衷的，因为的确，写成（12）式的形式，在以后的微分方程运算、表示中方便、合理很多，写成（11）式，是非常丑陋、麻烦的。这里就是极限法微积分不讲理的地方。明明要跟牛顿-莱布尼兹微积分划清界限了，说他们那个不行，会产生贝克莱悖论，我这个行，但一遇到实际情况，还是要往人家那里凑。你有点骨气，就自始至终用（11）式不行吗？最后一点，也可以说是奇葩之最了，就是说既然有了（12）式了，那把这个dx除下来，不就得到了

dy/dx=f’(x) 或 f’(x)=dy/dx

.......................................................（13）

这不就是导数公式吗？只不过这里的dy、dx，都是宏观增量，不表示什么无穷小、趋0极限之类，也不是什么前述的dy/dx“不能看成比式、分式，只能看成不可拆分的整体”意义的导数（因其得到救赎是由做了除法除以dx得到的，还有什么不能是比式？），而就是两个宏观量之比，也就是分式。因此，这里的导数，只是与正规由极限法微积分正经八百求出的导数在数值上相等，实际不是一回事。既然不是一回事，可又数值相等，还用等号相连，此奇葩4。凭什么可以如此？它说明了什么？难道就是一个巧合？没人仔细思考。此奇葩5。最奇葩的是下面的：（13）式写都写出来了，怎么就居然没人想到直接由这个（13）式来定义导数f’(x)？这里的dy是什么，不就是切线的宏观意义的增量吗？dx是什么，不就是自变量的宏观意义的增量吗？这个意义上，不就是笔者定义的所谓“新导数”dy/dx吗？笔者闹了半天，论证了半天，苦口婆心了半天，循循而诱了半天，不就是这个？传统微积分不早就自己写出来了？写都写出来了，还不认，我如此啰嗦半天，还不认，还说只是数值相等云云，这不能不说是最大的奇葩，奇葩6。由此可见，观念的彻底改变，是很不容易的。实际，只是需要一个改变观念，一通百通。有人可能又要“马后炮”，说，对呀，那不早就求出来了，早就知道了，你那个什么“新定义”云云，新在何处？笔者只能回答：既然你承认（13）式就是导数的本原定义，而不仅仅是“数值相等”，那就请放弃极限法求导那一套，而按笔者的思路求导。因为不要忘了，（13）式中的dy、dx，都是宏观量，不是什么趋于0的产物，也不是什么只能看成一个整体之类。在微分方程的解题中，它们还要被挪来挪去地倒腾呢！

最后，虽然不是最奇葩吧，但也应该算一个：积分公式中的dx，在牛顿-莱布尼兹那里，是有其确切含义的，也就是小区间（先不管是不是无穷小之类的）。但在极限法微积分中，由于排斥无穷小，因此那里的dx与整个微积分式只能构成一个符号的整体，再也没有任何实际意义。此不详谈了，把奇葩7的帽子，直接给它扣上。

极限法微积分，就是为了掩盖系统中的旧有矛盾，弄了一大堆更加隐晦但仍旧矛盾的概念去替代原有概念。甚至在有人明确指出此点，并给出解决方案时，仍旧碍于面子而不去面对。这里，我们没有看到任何科学界本该具有的、起码的求真务实的“科学精神”。我们只能说，近些年科学界尽人皆知的浮躁、不作为在这里体现的、暴露的淋漓尽致。我的这些文章出来后，谁如果看懂了，还去给学生讲什么极限法求导之类的，就是对学生的极度不负责任。在欺骗学生。而如果还看不懂，我的看法，也没有什么资格面对学生，去教学生。应该老老实实地坐到学生的座位上去吧。

这是些题外话，也许不该写。但就是写了，又怎么了呢？

10、从动能与动量的关系看新导数定义的正确性

动能的定义是(1/2)mv2，而动量是vm，动能是标量，动量是矢量，也就是有方向的量。可以看出，对动能求导，刚好就等于动量。动量是矢量，也就是沿着切线方向的量，既然有方向，它就必然不是仅仅涉及一个点，而是起码两个点。因为起码两个点，才能决定一条直线，其后也才能有这条直线的方向。如果像传统极限法微积分求导那样，认为导数就是涉及一个切点的不可达极限点，只不过其数值刚好碰巧与曲线在该点的切线的纵横坐标之比相等。那么，这就等于宣称放弃对动量与动能上述关系的确切解释。而在笔者的所谓新导数定义下，这个问题是顺理成章的、十分自然的：如果在某点（导数点）物体所受外力突然取消，物体将作沿着切线方向的匀速直线运动。而匀速直线运动以及其速度，当然是矢量。于是，我们这里不妨对新导数定义给出另一种说法：在一个标量函数上，求其某点的沿着切线方向的矢量。这个矢量，即其导数。这个关系，在多元函数时可以看的很清楚，但以往在单变量求导中，囿于极限法的桎梏，并没有体现出来。现在终于可以统一描述了。比如，以往多元函数中有“全微分”却没有“全导数”，很奇怪，也见怪不怪，此后终于可以统一描述了。

11、再论新导数定义下的直接求导问题

这个问题，前期系列文章中早就才充分涉及，鉴于它的重要性，这里再简单复述一下。

一个中学水平的题目：求曲线（这里还是以最简单的二次曲线为例）的割线的斜率k怎么求？因为这就是笔者给出的导数的所谓“新定义”。注意，这里的斜率，就是通常意义的、实实在在的、宏观意义的斜率，而不是什么“趋0极限值”。我们说，一个直线的增量方程，都可以写成△y=k△x。式中的k，为直线的系数，而众所周知，直线的系数就是其斜率。即使△x=0，进而0=k·0，这个k作为直线固有的性质，也还是存在的。我们现在求的就是它。有人说，你这里的k，不是还是由△y/△x=k求出来的吗？还是离不开分母上的△x吗？实际大谬不然。k当然是由函数与其自变量的增量比值求出或定义的，但可不是特定的、受约束的△x（可能为0的），而是任何始终不能为0的直线上的两个点△xi决定的。曲线的割线（与曲线有两个交点）作为直线，当然取其增量方程也同样具有△y=k△x的形式。又因为交点为曲线与其割线共享，因此曲线上两个交点的增量，就是其割线上两个交点的增量。就二次曲线而言，其两个交点的增量方程为△y=（2x+△x）△x，按前述，它也是其割线上两个交点的增量，即△y=k△x=（2x+△x）△x。比较等式两边，我们自然得到k=2x+△x。当△x=0时，也就是两个交点合二为一时，割线变切线，其斜率自然就是k=2x+0=2x。特别强调，我们求的可是k（或为表示其函数性，可以写成k（x,△x））,而不是△y，因此完全不必顾忌△x等于0时△y为0这点。当△x≠0，固然有△y/△x=k，但一旦△x=0，这个式子不成立，但可并不是没有k了，或k=0/0了。因为△x=0，只是表示直线上的两个特定的点（这里是两个与曲线的交点）重合了，但直线还在，直线上那无穷多个点也就还在，其斜率作为直线的固有属性之一完全可以由那些其它的点（比如前述的△xi）表示。于是，k作为直线的斜率，割线变切线时（△x=0时），就是切线的斜率（这里就是通常意义的，宏观的斜率，不涉及什么趋0极限之类的说辞），也就是新导数定义的导数。

我们还可以这么看这个问题。比如有中学水平的题目：求曲线（这里还是以最简单的二次曲线为例）的割线的一般的增量方程。这里所谓的“一般方程”，指的是割线上的点是不受其与曲线的交点约束的任何两个非0的点。此时那个k自然还是原先的那个，不会变。它还是x、△x的函数，可写成k（x,△x），在二次曲线的割线的情况下就是k=2x+△x。但此时作为二次曲线割线的增量方程的一般式，不应该再写成直接受到两个交点束缚的△y=k△x=（2x+△x）△x，而应该代之以△yi=k△xi=k（x,△x）△xi=（2x+△x）△xi。由于△xi≠0，所以当然可以有△yi/△xi=k=2x+△x。即割线的斜率（系数），当△x=0时，注意，仍旧有△xi≠0，此时的△yi/△xi=k=2x就是切线的斜率也就是导数。k（x,△x），保证了这个k不是与割线平行的任何直线的斜率，而只是割线的斜率。但△yi与△xi及其不为0，保证了不会在△yi/△xi时出现以往的0/0之类的问题。而如果是被约束于曲线的交点的△y、△x，就会有这个情况。因为在而交点合二为一时，△x=0，△y/△x只能是0/0。产生问题，求不出导数的。此处，可以讨论一个更深一些的问题：就算有△x=△xi，这里也是要区分两种情况的。一种是二者只是数值上相等，涉及的两个端点并不一致的情况。△x，已经被约定是曲线与割线的交点横坐标差了，因此是受约束的。而△xi不受此束缚，可以是割线上的任何两点的横坐标差。二者数值上可以相等，甚至也都可以为0，即可以有△x=△xi=0，但可以并不在直线上互相重合（当然前面已经讨论了，非要定义成重合也无妨，此时可以认为是恒等于△x≡△xi，以示与仅数值相等的“=”相区别）。这种情况下，作为直线的k，仍旧是有的，只要直线还在，就有其斜率k存在。它此时取决于直线上具有无穷多的其它二点的纵横坐标差之比而已。这两个重合成一点了，另两个重合成一点了，直线上难道只有这几个点吗？当然不是。都重合了，也就不是线了，而只是一个点了。只要还是直线，就一定有无数点，就一定有其斜率（由这些距离不为0的不同点所决定的）。

笔者在前期论文中一再强调，牛顿-莱布尼兹虽然没有明确意识到上述诠释，但其具体求法，比如通过约分消去增量比值函数分母上的自变量△x等步骤，就实际上宣告了（尽管没有阐明或意识到）上述诠释的正确性，而且无疑是唯一的正确性。因此，在笔者给以明确的诠释后，牛顿-莱布尼兹求导的实际做法，无疑是对的。而极限法（所谓第二代微积分，标准分析）求导，实际只能是错的。理由前文及笔者前期系列论文已经讨论的很详细了。此不赘述。

六、小结

综上，现时通用的柯西等的极限法微积分（标准分析、第二代微积分），根本就是错的。而牛顿-莱布尼兹的第一代微积分，实际上其做法本质上是对的。但他们的做法需要新的解释、定义，以排除以往那个令人困惑的贝克莱悖论。明白讲，他们的解释不对（会产生贝克莱悖论），对导数的定义不对，但做法是对的（真正求出了精确的导数值）。笔者所为，实际上是为他们的做法正名。改正的是他们的解释。从此以后，我们可以放心大胆地把导数看成一个不涉及分母为0的比式，而不是像标准分析那样，扭扭捏捏，经常把导数还是写成一个莱布尼兹的比式形式dy/dx，却又强词夺理地硬说什么这个比式实际不是个比式，它必须看成一个整体，严格讲不合适云云。那你为什么不彻底废除这种写法dy/dx，还在教科书中误导学生？实际上，这是有其不得已的苦衷的：在积分中，微分方程中，这种写法不仅是方便的，甚至是非如此不可的。他们这里是留了后手的。一旦学生们（实际也包括这些教师甚至“数学家”自己）忘了前面的导数的极限法求法，就把原先牛顿-莱布尼兹的那一套行之有效的东西悄悄地又塞进来。这些，还真不是我说的，或仅仅是我在说。实际上，柯朗的名著«数学是什么»中就表达了类似的看法[见参考文献12}。

以下引述一些“大人物”对极限法微积分的评论。可见，吾道不孤。

罗素说：那些教师无法自圆其说，就千方百计试图说明我们相信那些分母的诡辩（大意）。

马克思说：数学家试图让我们相信什么可以无限接近，又始终到达不了的昏话（大意）。

罗宾逊说：数学家对无穷小法非常苛刻，而对同样问题多多的极限法却宽容无比（大意）。

莫绍揆说：自变量的微分定义，肯定有问题（大意）。

哥德尔和吴文俊都说过，将来的分析，应该是非标准分析。他们没有明说，但其实对现在的所谓标准分析应该是有看法的。

注：哥德尔的说法是有据可考的。吴文俊的说法，为转述，出处尚未查到，待考。

参考文献

[1] 莫绍揆.试论微分的本质.南京大学学报(自然科学),1994年第03期

[2] 沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.

[3] 方源,王元.微积分（上、下）.高等教育出版社，2014年7月第一版.

[4] 沈卫国.论微积分求导公式的一种全新推导模式(解方程法)及贝克莱悖论的彻底消除.天津职业院校联合学报，2013年2期.

[5] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年05期.

[6] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述（续）——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年11期.

[7] 沈卫国.微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析.天津职业院校联合学报，2017年06期.

[8].沈卫国.辩证逻辑与智能.智能系统学报.2011年04期.

[9].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（上）.天津职业院校联合学报.2018年04期.

[10].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（下）.天津职业院校联合学报.2018年07期.

[11].沈卫国.数学基础若干问题的创新性思考.理论数学.2018年08期.

[12].[美]R.柯朗 H.罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究（増订版）.复旦大学出版社.2005年5月第二版.

[13].徐利治.论无限——无限的数学与哲学.大连理工大学出版社.2008年12月第1版.

[14].沈卫国.由1=0.99999..........与否引伸出的有理数、无理数的本质性定义问题以及无穷相关问题的讨论.国家科技图书文献中心预印本.2020年11月18日

[15].沈卫国.有关微积分的进一步讨论.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月3日

[16].沈卫国. 芝诺悖论、可达与不可达极限、无穷（无穷大、无穷小、实无穷、潜无穷、

1与0.9999........相等与否等相关问题与微积分.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月

[17].沈卫国. 微积分极限法（第二代微积分、标准分析）所必须正视与回答的问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月

[18].沈卫国. 在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿） —————————高等数学初等化的必由之路及有效途径.国家科技图书文献中心预 印本.2021年1月

[19].沈卫国. 极限法微积分求导过程中的贝克莱悖论问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月

[20]. 沈卫国. 再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题

————兼论紧扣导数、瞬时速度新定义的新的直接求导方法.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月

[21].沈卫国.新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月

[22].沈卫国.微积分极限法求导中的逻辑问题辨析以及一个形象的比喻.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月

[23].沈卫国.牛顿、莱布尼兹究竟是如何“通过（看似） 肯定不正确的数学途径得出正确结果”的 ———兼论对微积分核心概念的全新理解.2020年04期

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