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如何正确描述晶体？如何根据第一原理计算固体的比热容并与实验结果进行比较？8月4日、8月6日、8月13日12:00《张朝阳的物理课》第163、164、165集开播。

搜狐创始人、董事局主席和CEO物理学家博士张朝阳坐在搜狐视频直播间，首先回顾了一维谐振子链的量子化并用代数解给出了它的能谱，然后将一维谐振子链模型推广到了三维谐振子链模型。维谐振子格模型。

张朝阳后来表明，这样的模型是固体晶体的非常好的近似。

历史上，爱因斯坦首先利用谐振子来计算固体的比热容。利用半经典计算，爱因斯坦正确给出了高温极限下能量相等的结果，并在低温极限下定性地回归到热力学第三定律，但定量与实验观察之间存在差距。

。张朝阳解释说，这是因为爱因斯坦的模型只粗略地解释了单个孔隙的能级分布，而忽略了晶格的集体激发，而晶格的能隙较小，在低温极限下贡献显着。后来，张朝阳根据这一观察进一步提出了德拜提出的模型，正确计算了固体在低温极限下的比热容。

可以看出，结果与实验观察结果一致。

爱因斯坦的固体比热容模型

在自然界中，当物理物体受到干扰并围绕平衡点移动时，最初处于机械平衡状态的物理物体可以用一个简单的儒家模型来近似。

其中，最经典、最成功的案例是由爱因斯坦提出，并由德拜延续，并启发了现代凝聚态物理的固体晶格振动模型。

在之前的直播系列讲座中，张朝阳详细讲解了一维谐振子链量子化方法，并用代数解给出了相应的能谱。他解释说，通过使用傅立叶变换和模态定义的升降算子a(k)和a^+(k)，哈密顿“k空间”中的一维儒家链可以重写为

虽然“微分哈密顿量”是在空间中定义的

其中l是链上两点之间的距离，

是众数定义的粒子数算子，能隙满足色散关系

事实上，这样的谐振子链可以认为是一维晶体。

然而，为了对现实中具有三维结构的真实晶体进行建模，希望将儒家链模型进一步扩展到儒家晶格模型。目前，晶格（如图所示）可以想象为一个空间，分成一系列边长相等的立方体，原子（或分子）放置在立方体的顶点，相邻的网格点在三个方向上起作用。

原子（或分子）的作用也用儒家势来描述。

目前，必须使用三个整数（q1、q2、q3）来标记晶格的每个顶点。类似地，当应用傅立叶变换时，波数必须被视为三维向量

此时，总哈密顿量可以认为是

这里的因子3是由于粒子在三个方向上振荡，h(k)仍然是儒家链的形式，但值得注意的是这里没有下标的k应该理解为模长度。

向量的。使用向量表示法，三重积分可以再次缩写为

积分域D是一个以原点为中心、边长为2π/l的立方体，通常称为“第一布里渊区”。为了简洁起见，下面使用这些符号。

历史上，爱因斯坦提到了黑体吸收的辐射光子的量子化，并首次巧妙地用儒家模型描述了晶体的分子运动。爱因斯坦将晶体视为N个独立运动粒子的集合，或者等效地视为3N个独立谐振子的集合。“独立性”是相互作用强度ω1=0，因此当单个谐振子哈密顿量为

当考虑大量3N孔时，更常见的是根据统计力学考虑粒子能级的排列以满足给定的热分布。

这是因为在撰写单粒子哈密顿量时，许多相互作用常常被忽略，例如系统内的高阶相互作用或与外界的相互作用。

但是，尽管它们仍然是真实的，但在观察多粒子系统时，这些相互作用使系统处于热状态。对此类系统进行最详细和准确的处理需要使用量子统计力学和密度矩阵。

来描述其动态行为。幸运的是，在当前的问题中，可以暂时绕过这种复杂的计算和物理图像，转而采用适用但更简单的半经典处理方法。所谓半经典处理是指根据能级的能量认为粒子分布满足经典玻尔兹曼分布。

其中N0是分布在基态的粒子数。那么单个粒子的平均能量

这里介绍的计算过程与前面课程中讲解的黑体辐射平均能量的计算一致，这里不再重复。

因此，整个系统的能量

当温度高时

，第二项也可以近似为与温度的线性关系

为了验证该模型的有效性，爱因斯坦考虑将其用于计算固体的比热容，并与某些实验结果进行比较。

固体的比热描述了当固体改变单位质量的温度时释放或吸收的能量。对于固体，通常考虑定体积比热容

将前面的计算结果代入这个定义，不难看出高温极限已经

这一结果与经典热力学的能量均衡原理是一致的。

这是因为当温度较高时，粒子更容易因较高能量的热扰动而加速。该激发能远大于空穴能谱的能隙，因此能谱可以认为是近似连续的。

另一方面，在低温限制下

，可以近似估计系统的能量

此阶段计算的比热容为

换句话说，当温度接近0K时，固体的比热容很快以指数方式接近0，这解释了热力学第三定律。

目前，如果将上述分析与某些实验结果进行比较，爱因斯坦模型热容随温度的分布大致如下图黑线所示，红线为实验测量结果。

不难看出，爱因斯坦的模型在高温极限下与观测结果吻合得相当好，但在低温极限下则不然。在爱因斯坦的模型中，粒子在低温下强烈集中在基态。

由于基态和第一激发态之间存在能隙ℏω，因此粒子必须接受显着的能级扰动才能“攀爬”这个悬崖。在低温极限下，这种扰动的概率大大降低，即晶体很难与外界进行能量交换。

这表明爱因斯坦对固体晶体的建模是一个非常粗略的近似：他专注于描述单个原子的动力学，而忽略了系统的集体行为。诚然，这足以达到他表达他对量子化的思考的目的。

（张朝阳用爱因斯坦的模型计算了固体的比热）

德拜的固体比热模型

对固体比热容的更详细的分析，得益于德拜对爱因斯坦模型的思考和改进。

如果爱因斯坦的模型是要找到对立网格中每个谐振子的本征态，那么德拜的模型就必须将谐振子之间的主导序相互作用更详细地添加到理论中，并在此基础上求解谐振子的能谱。

。同时，如果认为晶体是由单原子组成的，实际上每个原子只受到邻近原子的影响，那么爱因斯坦模型中所谓的独立谐振子只是切掉碎片后看到的幻觉。

因此。因此，德拜模型中应取ω=0，

其中k_{BO}是使用Born-Oppenheimer近似计算的原子间刚度系数，m是原子质量。相应的色散关系为

注意，这里，根据之前的约定，向量模k的长度>0，所以取平方根时不需要考虑负数部分。

在之前的讲座中，张朝阳曾全面解释过这样的图景：从晶格的一般运动行为可以被认为是一系列用波数（向量）k表示的独立简正模态的总和。

根据色散关系，这些简正模有高能量和低能量之分。其中，高能部分几乎不传播，可以认为是限制在某一点的强烈振动，而低能部分可以对应于固体中的经典机械波——这就是波粒二象性。

固定的。回到比热的讨论，爱因斯坦模型的问题在于它忽略了固体低能部分简正模态的影响。换句话说，当晶体从外界吸收能量时，它可能不仅仅激发单个粒子在平衡点附近强烈振荡。

相反，从整个晶体的角度来看，即使是谐振子微小集体振动形成的晶格波，也是系统允许存在的量子态。此时可以看出，后者的能隙极小，甚至是连续的，因此在低温极限处必然存在相对部分的激发态。

“老实说，在爱因斯坦的模型中，在低温限制下，我们以为我们可以‘爬’岩石，但当我们走进去时，我们发现我们必须走几步，”张朝阳说。

遵循这种思维方式，可以尝试从晶体集体行为的角度重新推导固体的比热。

“首先，在儒家模型中，每个正常状态都接收独立的能量并独立加速。”张朝阳介绍道：“当统计力学应用于晶体时，每个正常状态（用某个k表示）是由于我们忽略的相互作用在一定的弛豫时间后达到热平衡，这一过程与晶体模型一致。

单身谐振子爱因斯坦。”不同简正模态之间，由于它们的激发相互独立，因此可以认为不存在直接的热力学相关性。计算整个系统的配分函数或内能时，只需将它们相加即可。

那是

第二行，单个谐振子平均能量的计算结果可以直接用于爱因斯坦模型，但能量部分相应重写。

注意，积分中的第一项与温度无关，我们可以考虑简化第二项并代入色散关系。

“这样的积分很难直接计算，因此我们研究它在一些特殊情况下的行为。”例如，张朝阳提出，在高温极限下，给定一个大的温度（T→∞），为

打分就是

那么高温极限下的比热容

根据爱因斯坦模型的结果，它也回归到能源平等定律。

另一方面，可以考虑低温极限（T→0）。此时观察U2在温度很低时的积分函数

也就是说，整个积分函数

很郁闷。

“目前，事实上，只有当我们同时给出波数k→0的模时，才有可能得到它与温度的关系的有限值，使得函数参与积分。结论是与我们之前的讨论一致：在低温极限下，只有低能部分的集体激发很重要，它们是粒子可以行走的楼梯。

高能部分的激发站在岩石的顶部，几乎遥不可及，”张朝阳说。

根据这个思想，首先，当k→0时，简化的色散关系为

那么总内能的积分可以重写为

为了方便计算，积分时可以采用极坐标形式，即

张朝阳提醒我们，实际上，当用极坐标或球体来近似原本是立方体的布里渊区时，原则上会存在描述积分极限的困难。

幸运的是，由于布里渊区边界对内能的影响在低温极限下呈指数衰减，因此获得边界的正确描述并不重要。

事实上，模积分上限的值或者积分域的球半径应该是系统的自由参数，暂且用k_c来表示。

使用极坐标，积分可以重写为

使用交换

这可以进一步简化

其中积分是上标的

整个积分可以定义为德拜函数

查阅相关参考著作，我们可以知道，当x大于某个值（比如x>100）时，德拜函数的函数值几乎不变。

因此，可以确定极限温度

当温度很低时，即T

其中Г是欧拉伽马函数，ζ是黎曼zeta函数。

因此，低温极限下的计算结果可表示为

进行温度测定后得到比热容

不难看出它与温度的三次方成正比，

这与实验中观察到的趋势非常吻合。

这是德拜的固定比热模型，可以认为是爱因斯坦模型的细化，解决了爱因斯坦模型在低温极限方面的缺点。

在中部地区，由于整合的复杂性，没有分析结果。

（张朝阳用德拜的模型计算了固体的比热）显然《张朝阳的物理课》每周五、周日12:00在搜狐直播。网友可搜索“张朝阳”搜狐视频APP“关注直播”观看往期节目直播及完整视频播放；关注“张朝阳”“物理课程”账号，查看课程“数据点”短视频；另外，您还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号中阅读每门物理课程的详细文章。

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