作者 | trustno1v3

来源 | 知乎

在近代数学家完成数系重新整理之前，对于数，古典数学家曾经有着大量“奇异”的认知，其中不少理论还呈现出“怪诞”的色彩。克罗齐说“一切历史都是当代史“,过去只有和当代的视域相重合的时候才为人所理解。在我看来这些早期数学知识"怪异性"与其说是古典数学家的局限性，不如说我们当代人对历史的一种认知失调。数学史家习惯于从当下的数学概念出发去分析古代数学文本，认为这些文本的全部价值在于它们包含了一些数学思想，能够被纳入现代数学的逻辑结构。古人认知的局限性固然是根本底色，然而今人的解读不啻是底色上的一种涂抹，使得古代数学知识变得更加斑驳难辨。

这种数学史的研究态度与 17 世纪后数学结构高速精致化进程有关。现代数学教育中成长起来的数学工作者，往往被预设了一种观念——数学中存在一些永恒不变的数学实体或数学真理，它们不依赖于数学家的思想，不会受到任何"数学之外的"因素的影响而改变，具有超越时代、超越文化的同一性。

但种观念的问题在于，数学是由数学家共同体整理发现的。而数学共同体生存环境、物质条件随着时代的变迁也发生了巨大的变化。古典数学家的生存环境早已与我们分道扬镳，他们对数学关注焦点兴趣品味与近现代数学家也是大相异趣的。因此复原数学家当时的生存环境，通过环境的同构来理解古人思想和意向，这些是与解读数学文献同等重要的东西。

公元前 200 年到 200 年间人类古典数学的第一次高峰。其中最为辉煌的应该是公元前 300 年到前 200 年的希腊化时代。在这个时代里，人类经历了第一次数学危机，将平面几何学推向了最高，在希腊化的末期还出现了微积分的雏形穷竭法。在这短短的 100 多年里，地中海地区就像寒武纪大爆发一样，迸发出前所未有的创造力而后又迅速归于沉寂。

这一切是如何产生的？过往的解释基本上归因于古希腊人特殊的社会形态和文化因素。比如雅典发达的航海和商业和民主公民社会，培养出了一个经受良好教育的有限阶层，比如柏拉图，苏格拉底。这个有闲阶层催生了轻实务哲学家群体，他们对抽象理念的痴迷和对客观世界认知的偏见，导致抽象的数学概念的诞生。

这一说法，并非没有道理。雅典虽是商业中心，但从事商业和医药之类行业的人并没有特别高的地位，在柏拉图的《理想国》中商人和手工业者位于第三等级。柏拉图坚决主张自由民搞买卖应看作是犯罪而要受到惩罚。亚里士多德也说在完善的国家里公民（相对于奴隶而言）不应该搞机械行业。

我们知道，其实在更久远的年代.公元前 6 和 5 世纪时,希腊人也曾经相当注重实务。泰勒斯曾用他的数学知识来测量金字塔改进航海技术。但是到了柏拉图时代，这个传统被逐步抛弃了。普鲁塔克（Plutachus）在马塞勒斯（Marcellus）的传记里描写了这种改变的：“欧多克索斯和阿基塔斯……用机械工具来巧妙地说明几何真理……但由于柏拉图对此表示愤慨，并由于他对此大加谴责，说它只不过是搞坏和消灭了几何学的一个优点，使其如此可耻地不顾纯理智的抽象对象，而回复到感性，并求助于物质。"

这种社会风气，为哲学家阶层从社会基层的实务需求抽离开来创造了外部条件。但却没有回答清楚：古希腊人的数学观念如何完成从实务到抽象的转向？纵观人类的历史，保持务虚抽象传统的文明并不在少数。比如说古印度文明向来都以务虚闻名，以六大哲学派别为代表的婆罗门哲学对世界本源认识并不比希腊时代的哲学逊色。他们也发展出了并不亚于亚里士多德逻辑学的因明正理论。然而古代印度的数学并没有走向希腊数学的抽象道路。换而言之，文化哲学因素并不足以促成这一独特的转型。这种独特转型更多源自于希腊数学自身的独特的形态与特质。

从计算板到万物皆数

古希腊的计数系统继承了古埃及人的非位值十进制计数——爱奥尼亚计数系统。希腊有 27 个字母，古希腊人用头 9 个字母代表 1-9，中间 9 个字母代表 10-90，最末 9 个字母代表 100-900.每个字母头上增加一条横线以示和文字进行区分。

与现代数学系统采用十进位值制相比，这种计数系统显然更为繁琐。这种繁琐不仅表现在数字撰写上。我们知道一个位值制计数系统，实际上是一个基数 的记数系统

我们在 进制系统中的数表示为

的形式，并按次序写下数字 。而非位值制数字的展开可能是这样的

比较这两者的差别，我们可以看到，位值制的最大优势在于，每一位都是由相同底的指数次幂的求和。这意味着，我们可以在这个数列上实行一系列的离散循环操作,例如

这种离散循环操作，意味着每一位的运算程序算法都是一致的，只是进行不断的重复。不断重复的雷同操作，就为机械化加速运算打开了大门。以现代计算机术语来说，位值制的计数系统，它的基本运算只含有简单的循环，而非位值制的计数系统，其基本运算含有大量的分支结构，每一位都需要进行底数的判断，甚至相同位置上的底数还不一样。这种分支结构依靠人力是演算是非常困难的。

因此古希腊人就有足够的动力去开发计算的辅助工具。就目前的考古和文献学的证据来看，古希腊人最初依赖于一种，源自伊朗的计算板。下图是考古学家于 1846 年在爱琴海(萨拉米斯岛)发现的希腊算板。这种计算板依赖于滑动石槽中的小石字来完成计算。英文的"计算"一词(calculation) 的字根是拉丁文的"石灰石"(calcium)。这意味着古代希腊人，曾经用石头当计算工具——不是大石头，而是磨成珠状的小石子。将这些石子放在的盘子的沟槽里，就是一个轻便实用的计算工具。希腊算板採用双五进位则是学界的共识，所以它很可能是目前所能看到的最早的五进制算具。

当古希腊数学家频繁使用这种算板的时候，将这种笨重的计算工具进行虚拟化就是一种非常自然的想法。而这种尝试中，最为登峰造极的就是毕达哥拉斯派。正是毕达哥拉斯派，神秘主义教派倾向，开启了希腊由实务向抽象的转变。据普罗克洛斯说，把“数学变成自由学科’（即教给自由民的学问而不是传给奴隶的技巧）的正是毕达哥拉斯派人”。

我们现在非常熟悉的一种说法，毕达哥拉斯派信奉世界是由整数组成的。但是这种信仰的具体内容到底是什么？他们为什么会有如此奇怪的信仰？根据目前史料我们知道，毕氏学派对于数有很奇特的看法，也们将数用小石子排列成各种形状，例如 10 粒小石子可以排成三角形或矩形，叫做三角形数或矩形数，因此，数都赋有形状，从而有形数 (figurate numbers) 之称。

很容易看到，毕氏学派对数的研究实际上是由对算板计算进行抽象化过渡而来的。用石子排列形状，大概就是算板的遗迹。当然毕氏学派对算板的抽象化并没有停留在有形数上。他们进一步思考，既然普通的石球可以摆出有形数，那么我们能否用更小的石球去度量连续的线段,呢？要研究这个问题，当时的哲学体系中有两大对立的观点，即连续派和离散派。

如果采用连续派的观点，主张线段可以经过无穷步骤的分割，最终得到一个点，令其长度为 ，那么对于 可以提出两种假说：

A）

B) 为无穷小 (infinitesimal)。

如果采用离散派的观点，主张线段只能作有限步骤的分割，线段经过（很大的）有穷步骤分割后，得到一个点，其长度 虽然很小很小，但是不等于 0，那麽自然就有第三种假说：

C)

毕达哥拉斯分析 与 两个假说：如果 ，由于线段是由点组成的，那么就会产生由没有长度的点累积成有长度的线段；这种"无中生有"是不可思议之事。毕氏无法打开这个困局。如果说 是无穷小，那么什么是无穷小？显然它不能等于 0，否则又会落入"无中生有"的陷阱。 它可以是某个很小很小而大于 0 的数吗？这也不行，因为这会变成线段是由无穷多个正数加起来的，其长度是无穷大！这也是一个矛盾，换句话说，无穷小不能等于 0，并且要多小就有多小。

在数学家对无穷小、极限、无穷级数收敛发散，等现代分析学概念进行精确定义之前，「不等于 0」与「要多小就有多小」，这两个概念是不相容的。两千年前的希腊人根本无法想象会存在无穷正数求和最终收敛到一个固定数值这种诡异的事情。因此，无穷小不能生存在数系之中，它像个活生生的小精灵 ，云游于"无何有之乡"，令人困惑。

经过上面的分析，毕达哥拉斯採用 的大胆假说，点有一定的大小，其长度 。

换言之，在毕达哥拉斯学派的眼光里，世界万物是离散的。线段是由具有一定大小的点排列而成的，像一条珍珠项链。而这一观点，也符合当时的几何直观。因为当时希腊的几何学家已经知道，如何使用圆规对一条线段进行有限次的等分，比如说平分线段，三等分线段等等。因此毕达哥拉斯认为，可以通过这种模式，将几何与计算之间架起桥梁，让几何变成可以计算的东西。于是他们推导出这样两个结论

结论 1

任何两线段 与 都是可共度的 (commensurable)，即存在共度单位 ，使得 且 ，其中 与 为两个自然数。

结论 2

任何两线段 与 可共度 为一个有理数。

毕达哥拉斯利用这两条线段可公度定理，"证明“了一系列他们认为正确的结果。比如说

长方形的面积 ＝ 长 × 宽 ＝

证明：

由于 与 可共度，故可取到共度单位 ，使得

用 将长分割成 等分，宽分割成 等分，立即看出长方形的面积为 个 u2 单位，恰好就是

再比如，相似三角形,对应边成比例。这一证明，在现代平面几何教材中，是利用面积来完成的。然而在毕达哥拉斯哪里则是用公度线段来完成的。

两个三角形若三个内角对应相等，则其对应边成比例，如图二十四，设 ，，，则

证明：因为 与 可共度，故存在共度单位 及自然数 使得

在 与 边上取 且 ，以 长将 与 分别分割成 与 等分。由分点作线段平行于底边，则

且平行线也将 与 分割成 与 等分 为 与 的共度单位。于是 且 从而

毕达哥拉斯承认万物皆数的原因在于，在原始极限和无穷概念下，这是一个逻辑上唯一可接受的方案。他们利用这类方法，证明了大量的几何定理。然而正是由于无穷和极限观念的缺失，他们很快遇上了不可逾越的障碍——正方形对角线不可共度。

我们现代人学习这个 是无理数的概念，一般都是借助于 15 世纪费马给出的无穷递降法，或者更为现代的奇偶归谬法，这些基本上都是纯代数方法，然而我们可以看到古希腊由于计数方式的落后，他们并没有发展出成体系的代数学。显然毕达哥拉斯派的 Hippasus，不可能利用这类方法来完成证明。根据数学史的考证，他可能利用的是更为原始的，布石法进行的证明。

我们前面说过，毕达哥拉斯喜欢研究有形数。有些数可以排成正方形，并且有些正方形数又可重排成两个小正方形数之和，比如

对于毕达哥拉斯学派而言就意味着，一个正方形数可以重排成两个相同的较小的正方形数。这可以办得到吗？我们作几个简单的观察与尝试，考虑 与 的情形

如果 可以重排成两个相同正方形 与 之和，那么 扣掉 ，所剩的 ，必可排成 ，

亦即零头的小石子恰可填满 之正方形。记 之正方形为 ，两个相同的零头正方形为 与 。注意到， 与 必为正方形

按此要领不断做下去，会没完没了，终究出现矛盾。换个方式来说，若 ，则 。

我们一直说，无理数的发现对毕达哥拉斯而言是毁灭性的，然而这样的打击到底是怎么样的呢？事实上，万物可公度是毕达哥拉斯学派所有数学证明的前提假设。甚至包括他们要杀 100 头牛来庆祝的的毕达哥拉斯定理(即勾股定理）都依赖于此。这个证明破坏了这个假设，等于毁灭了毕达哥拉斯学派的所有学术成就。于是他们想通过杀人的方式来解决提出问题的人也是可以理解的。

毕达哥拉斯派把 Hippsus 的投入大海的传说是否真实至今没有过硬的历史证据。但是这一传说骇人听闻的程度，足以反应当时数学共同体的绝望和焦躁。如果我们不以当时人的生存状态去进行换位考量，我们是很难去体会古人的心里状态。