1.0 递归的说明

递归就是在一个函数中调用自身。这样做可以让我们解决一些问题，比如计算斐波那契数列、阶乘等。

递归函数一般包括两部分：基本情况和递归情况。基本情况是指当问题变得很小，可以直接得到答案时，递归就可以停止了。递归情况是指在解决问题的过程中，需要不断地调用自身来解决更小规模的问题。

对于递归这个算法，简单的来说，方法自身调用自身的时候，需要有终止的条件，在运行过程中不断的趋向终止条件。还有递归总的来说有两个动作：第一个动作是递出，方法不断的在栈区中创建出来，直到达到了条件就会停止。第二个动作，达到条件停止了，就会回归，指方法在栈区中依次执行完后就销毁。

2.0 用递归来实现相关问题

以下的问题都较为简单，采取直接用代码来演示。

2.1 递归 - 阶乘

代码如下：

2.2 递归 - 反向打印字符串

代码如下：

2.3 递归 - 二分查找

代码如下：

2.4 递归 - 冒泡排序

代码如下：

2.5 递归 - 冒泡排序2.0

对冒泡排序进行升级，假如 int[] arr = {2,1,1,3,4,5,9}，这种只需要遍历一遍即可，但是对与已经用递归实现的冒泡不止遍历一次。因此，需要得到升级版冒泡排序。

思路为：对于后续的元素已经是排好序了，就不用再遍历了。每一次交换完元素之后记下来 i 索引，i 之后的元素已经是排好序的，i 之前的元素还需要继续遍历，看是否还需要交换。

代码如下：

2.6 递归 - 插入排序

思路：假设第一个元素已经排序好了的，在已经排好的元素的后一个元素记录为 low，这个 low 索引对应的元素需要用临时变量来接受，只要找到比这个索引对应的元素小的值，就可以插入到比它小的值的后一个索引位置了，当然，每一次对比之后，都需要往后移一个位置，以便直接插入。当 low 一直每一个加 1 ，当 low 等于数组的长度时，就该停止了继续递归下去了。

代码如下：

2.7 递归 - 斐波那契

代码如下：

2.8 递归 - 兔子问题

一个斐波那契的变体问题。

思路：观察第六个月的兔子个数，是否等于第四个月的兔子的总数加上第五个月的兔子总数；类推，第五个月的兔子个数，是否等于第四个月的兔子的总数加上第三个月的兔子总数；以此类推，是符合斐波那契逻辑的。

代码如下：

2.9 递归 - 青蛙爬楼梯

一个斐波那契的变体问题

题目如下：

实现思路： 一个阶梯一种跳法，两个阶梯两种跳法。重点，如果有四个阶梯，从后往前分析，分两种情况；第一种，从第二个台阶直接一下子跳两阶上来。第二种，从第三个台阶跳一阶上来。那么从考虑第一种情况，前面两阶是不是就是只有两种方法。考虑第二种情况，前面的三个台阶是不是就是前面已经算出来的方式跳法个数了。因此，这就是一个斐波那契的变体问题。

代码如下：